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下面我们推导不可压缩的

粘滞性流体的

动力学的基本方程

就是纳维斯托克斯方程

这个是了解一下就可以了

所以我们不做详细的推导和说明

类似讨论欧拉方程

我们选择一个长方形的

体积微元dV

用拉格朗日法

单位质量外力是f

那么我们现在讨论x方向

这是x方向

x方向产生粘滞的

应力的有什么呢

有六个面

前后这两个面是什么呢

是粘滞正应力

侧面有四个

是粘滞的剪应力

所以它往前运动

那么它受到的粘滞力

一共有六个

其中两个正应力

四个剪应力

那么合起来

这样的力大家注意

这个对面的力

一定是方向相反的

它这个正应力方向相反

这四个剪应力

这个面跟后边这面

也是方向相反

这个面跟下边面也是方向相反

所以最后它的合起来

就是这个结果

负的偏P偏x加上η

这是倒三角平方

vx乘以dV

我们这个怎么来的

就不再详细说明了

这倒三角的平方

我们称为拉普拉斯算子

拉普拉斯算子乘以vx

最后乘以dV

其中应用了V的散度等于零

因为它是不可压缩的流体

所以应用了这个

于是我们得到了这样的方程

就是ρ乘a

就是它的ρ乘以加速度

等于ρ乘以它的体积力

减去这个

那么这是什么东西呢

这就是P的梯度

再加上η乘这后头这些项

这些项就相当于

拉普拉斯算子对它作用

于是写出来

最后结果就是ρ

乘以加速度等于ρ

乘以体积力

减去P的梯度

加上η乘以拉普拉斯算子v

就这样一个结果

这个就是纳维斯托克斯方程

其中拉普拉斯算子

是倒三角的平方

等于倒三角点上倒三角

结果就是偏方

偏x平方加上偏方偏y方

加上偏方偏z方

是这样一个算子

这就是拉普拉斯算子

把它作用于v

就是这个结果

这就是纳维斯托克斯方程

我们现在用纳维斯托克斯方程

来推导一下

哈根泊肃叶方程

这是不可压缩的牛顿流体

在水平流管里边

内半径为r

沿着z方向定常流动

求它的体积流量

就是这样的推导

我们现在看

它这里边流动只有vz

由对称性vz只是r的函数

然后我们看

质元做着匀速直线运动

所以它的加速度是零

忽略体积力

于是刚才说的这个方程

就变成了这个形式

我们现在取z方向

用柱坐标系

于是

这因为它的加速度是零

所以就是ρ乘a是零

等于只有沿着这个方向

负的dPdz

这是压强的梯度

再加上η乘以倒三角的平方vz

乘以它

这就是刚才那方程

这种情况下得到的方程

注意

这个刚才说那个拉普拉斯算子

等于偏方偏x平方

加上偏方偏y方

加上偏方偏z方

那是在直角坐标系的

拉普拉斯算子的表达式

在这个柱坐标系的

拉普拉斯算子的表达式

就不一样了

拉普拉斯算子表达式就变成了

倒三角平方ψ

它就等于谁呢

等于ψ先对r求导

乘以r再对r求导

然后除以r

再加上这个ψ对ф的两次

偏导除以r方

再加上ψ对z的两次偏导

所以在柱坐标系里边

拉普拉斯算子表达式

跟直角坐标系是不一样的

在咱们这个问题里面

v只有vz

所以它只是r的函数

所以它对ф求导

跟对z求导都是零

只剩下对r求导

所以它剩下这一项

于是我们整理一下

于是就是dP除以dz

等于这一项

大家看

这边都是z的函数

这边都是r的函数

z的函数要等于r的函数

它一定是一个

跟z跟r无关的常数k

于是我们就是得到两个方程

一个是dP除以dz等于k

把它积分得到这个结果

一个就是刚才咱们说的第二个

这个微分或者导数等于k

于是我就可以把vz求出来

计算出来

这个计算比较麻烦一点

大家看是这么计算的

先把这个dr乘过去

dr除以η

对r来积分

这个直接就微分积分了

积出来以后

左边是积分出来这个结果

右边积分是这个结果

完了继续再积分一次

积分以后就得到它

最后得到这个结果

于是

我通过上边那个方程

积分得到这个结果

第二个方程

积分得到这个结果

其中都有k

把k消掉就把vz求出来了

于是vz就等于这个结果

然后vz在做面积分

就得到了

它的体积流量

跟我们刚才得到的相同

就推导出了

哈根泊肃叶公式

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微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

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Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

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-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

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-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

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-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

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-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

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-§4.刚体 (下)

-习题

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Ch6.连续介质力学

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-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

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-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

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-§5流体阻力(上)

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Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

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-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

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--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

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-§5波动方程.波速

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-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

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-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

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-§3 相对论动力学基础

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-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

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Ch9.广义相对论

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