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第二节

洛仑兹坐标变换

与相对论速度变换

狭义相对论的

两个惯性系之间的

坐标变换

称为洛仑兹坐标变换

也就是时空变换

洛仑兹坐标变换

全面准确的体现了

狭义相对论的时空观

和时空性质

关于狭义相对论的时空问题

都可以用洛仑兹坐标变换

来解决

狭义相对性原理

体现在物理定律的

数学表达式

为洛仑兹变换下的

不变式或者是协变式

有洛仑兹变换下的协变性

洛仑兹

它在假设了

运动的时钟变慢

运动的尺

沿着运动方向收缩

于是它就建立起它

一套变换公式

那么就解释了

迈克尔逊莫雷实验

但是洛仑兹

仅仅把这个

当做一种纯数学的技巧

没有认为

这是一个实际的

时空的真正的性质

所以它在爱因斯坦之前

就把这个变换提出来了

而且解释了

迈克尔逊莫雷实验

可是它这种解释

并不能够改变

整个的物理定律

所以它仅仅是一个

形式上的一种变换

而爱因斯坦

认为这种变换表达的

是真实的

时间空间之间的关系

是真实的物理世界的

时空的性质

所以它也用了

洛仑兹的坐标变换

作为它的时空的变换

但是意义完全不同

于是

洛伦兹变换的意义

有了质的飞跃

也就是说

虽然这个变换

是洛仑兹提出来得

但是它真正的

物理的本质的一种性质

却是由爱因斯坦所赋予的

洛仑兹坐标变换

我们看

狭义相对论的时间空间

相互联系

我们就把时间空间

放在一起

作为一个四维的坐标

称为世界点或者事件

这就是我们要讨论的

时空的关系

那么

同一个世界点

它在不同参考系之间的联系

就是体现在

洛仑兹的坐标变换上

这就是我们要讨论的内容

在合理假设的基础上

由狭义相对性的基本原理

引出了洛伦兹变换

那么我们现在

也像前面所说的

伽利略变换一样

规定S参照系

S'参照系

以及它相应的坐标系

然后也是在

t'=0的时候

这两个坐标系的原点重合

我们现在

因为是两个原理

所以我们分别用两个原理

来进行两部分的推导

那么首先

用相对性原理来推导

下面我们说明

垂直于运动方向的长度

它之间的关系如何

那么我现在有两个

静止长度相同的

两个细棒 A跟A'

分别固定在S轴和S'轴上

就这两个细杆

在静止情况下

长度是相同的

然后A固定在S参照系

把它的下端放在S轴上

竖直放着

然后A'固定在S'系

下端也放在S轴上

也是竖直放置

那么这两个棒

它肯定是要相互的交错的

对吧要相互交错的

这个是在S参照系看

它已经错过来了

就是它放这

它要贴身而过

贴身而过的时候

我就可以比较它上端的位置

看一看

上端位置谁高谁低

来判断A跟A'谁长谁短

这就是

跟运动方向垂直的长度

之间的关系

由相对性原理

我们说

它的判断一定是

两个长度是相同的

这个结果

是所有参考系都应该承认的

所以由相对性原理

两棒的地位相等

长短必然相等

所以它应该是相同的

也就是

垂直于运动方向的长度

是不变的

那么

有人说了

说你前边已经推导出来

在垂直运动方向的长度相等

你为什么在这儿

还要再推导一次呢

我们说那次的推导

是应用了光速不变原理

所以我们现在

要用相对性原理

要重新推导一下

如果你认为它不等

比如说

你认为是A长A'短

那么在S参照系看

它就说了

你运动的长度变短了

对吧

因为在S参照系看我不动它动

它短它长

就说运动长度缩短

这个结论

S'系也承认

就是A'短

但是它认为不一样

它认为A'静止

A是运动的

它认为运动的长度变长了

大家看

这样两个结论就不对称了

就不符合相对性原理了

所以

这两个交叉交错

一定是长度相同

所有参照系都认为是一致的

我们就推断出来

垂直运动方向的长度是相同的

这就是我们说的结论

于是y'=y

z'=z

这两个坐标变换已经有了

剩下的

就是x和t的变换了

x t的变换我们说它互相联系的

于是我们要讨论

是这两个之间如何变换

下面我们要说明

洛仑兹坐标变换

是线性变换

为什么是线性变换呢

还是由相对性原理

两个参考系是平等的

平等的话必然是线性的

如果不是线性的

那么就一定有一个地位

和另一个地位它不一样

所以它一定是线性的

不然的话

在这个参考系是线性方程

你换到那个参考系

就可能不是线性方程了

所以洛仑兹坐标变换

由相对性原理来判断的话

它一定是线性的

我们假设

x'=γx+δt

它是线性变换

所以这两个是常数

两个是待定的常数

那么我这两个

还可以有一定的关系

讨论谁呢

t时刻S'系的原点O'

它在S'系里面

它的坐标永远是零

所以这就是

我对O点来说

它的S'一定是零

可是在S参照系

它的t时刻

它的位置是什么呢

位置是ut

于是把x=ut

和x=0代进去

就得到了

这个δt=-γut

这个是零

这个是ut

于是δt=-γut

把t约掉

δ=-γu

代到这里边来

于是我们就得到

x'=γ(x-ut)

这样的话

由它的线性关系

得到了第一个

x跟t的关系式

类似我可以反过来

这个是从S参照系

变到S'系

我从也可以从S'系

变到S参照系

于是我就可以

把这个变成

x=γ'(x'+ut')

这是从x'系

变到了x参照系

这是用同样的方法推断

它一定有这个关系

我们下面

把刚才得到的

x'=γ(x-ut)

代到这里面来

那么考虑到相对性原理

S参照系跟S'参照系

是完全对称的

因此

这两个常数应该相等

所以γ'=γ

于是x=γ(x'+ut')

我们把刚才那个

x'=γ(x-ut)

代到这式子里面来

于是

就得到了t'的变换关系

t'=γ[t-(1-γ^-2)x/u]

这就是它的变换关系

于是呢

x'有了

t'有了

y'=y

z'=z

于是

一个完全的变换关系都有了

x',y',z',t'

变换关系是什么呢

是从S参照系的时空点

换到了x'系的时空点

这个变换关系完全有了

那么

剩下的只是这γ了

那么这样的话

我们就由相对性原理

推导出上述的变换关系

也就是说

一切满足

相对性原理的坐标变换

都包含在我刚才推导出这关系式来

x'=γ(x-ut)

y'=y

z'=z

t'等于它

这个变换关系

把所有满足相对性原理的

坐标变换

都包含在里边了

问题就在于γ

不同的相对性原理γ

不一样

咱们前边讲过

伽利略的变换

力学相对性原理

在力学相对性原理里面

你把γ取作1

它就是力学相对性原理

所以

力学相对性原理

也包含在咱们推导出来的

这关系式里面

只需要把γ取作1

下面的工作

就是我要找出

满足狭义相对性原理的γ

等于多少

所以下面的任务

就是这个任务

而这个任务

是要有第二个原理

什么呢

光速不变原理推导

来推导出

这个γ应该等于多少

所以下面

是要推导出

满足狭义相对性原理的γ来

由光速不变原理来确定γ

得到洛伦兹变换

假设在t=t'=0的时刻

从原点发光

在横轴上

某个人接收到光信号

这是原点

而且在两个坐标系重合的时候

t=t'=0的时候

在这儿发光

在x轴上有一点

x和x'处

有个人接收到光信号

这是事件1

这是事件2

于是这个事件

它的发生地点x和t

就满足了这个关系

x=ct

x'=ct'

也就是说

这个人接收到的信号

它的地点跟时间

在两个参考系

都满足这个关系

那么

由x=γ(x'+ut')

然后把这个x'代进来

等于ct'

于是把t'提出去

变成了γ(c+u)t'

然后x等于ct

所以这个又等于ct

我们就得到这个结果

这是第一个式子

类似我们看

x'=γ(x-ut)

x=ct代进来

就是γ(c-u)t

而x'又等于ct'

所以等于ct'

于是大家看这两个式子

我把这两个式子一乘

这边是γ^2(c^2-u^2)

t跟t'相乘

这边是c^2 tt'

把tt'约掉

于是就变成了γ^2(c^2-u^2)=c^2

于是就把γ求出来了

我们满足狭义相对性原理

也就是

光速不变原理的γ

应该是

1/√(1-u^2/c^2)

这个是我们以后最常用的

一个常数

大家一定要记住

这是γ

狭义相对论里面

一个时空点

在两个参考系之间的

坐标变换就有了

第一个从S参照系换到S'系

我们称为正变换

就是x'=γ(x-ut)

y'=y

z'=z

t'=γ(t-ux/c^2)

这就是正变换

从S参照系变到了S'系

同一个时空点

它的时空坐标

有这样的变换关系

逆变换

把u换成负u

就得到了洛伦兹变换的

负变换

或者逆变换

就是x=γ(x'+ut')

y=y'

z=z'

t=γ(t'+ux'/c^2)

这就是

洛仑兹坐标的逆变换

t、x相关

不存在绝对的时空

当u/c趋于零的时候

因为这个是1-u^2/c^2

当这项趋于零的时候

这一项趋于1

于是γ就趋于1

于是洛伦兹变换

就成为什么呢

就变成了伽利略变换

也就是说

在运动物体的速度

远远小于光速这个情况下

我的狭义相对论

时空观也好

坐标变换也好

就归结为伽利略变换

也就在伽利略变换满足的

条件下

它要跟它是相同的

这就是我们前边所说的

新理论要包容旧理论

狭义相对性原理

更明确的表达为

什么呢

物理定律对洛伦兹变换

要协变

这就是

狭义相对性原理的

更明确的表述

全面的严格的讨论

狭义相对论时空观

要由洛伦兹变换来讨论

我们下面来讨论一下

用洛伦兹变换来讨论

我们的时空观

和时空问题

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

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-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

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--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

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-§3万有引力场中质点运动

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-§4.刚体 (下)

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-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

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Ch9.广义相对论

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-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

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