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Video课程教案、知识点、字幕

第五部分

理想流体的基本方程

欧拉方程

理想流体

现在我们才提到理想流体

也就是说下面在讨论的时候

就要利用理想流体的条件

研究理想流体的运动

理想流体

是无粘滞性的流体

在流体力学里面

对理想流体有两种定义

一种就是像我们说的定义

没有粘滞性的流体

称为理想流体

还有一种定义

没有粘滞性

而且不可压缩的流体

才叫理想流体

我们取第一种定义

只是要求它没有粘滞性

就称为理想流体

流体一般粘滞性小是可以忽略的

所以我们常常在讨论中

都把流体看作理想流体

但是虽然流体的粘滞性很小

包括像气体的粘滞性更小

但是在有些场合

它的影响是不可忽略的

以后我们在讨论中

要注意这种情况

不可压缩流体刚才说了

ρ是常数

体积不变的流体

我们先看欧拉方程

采用拉格朗日法

应用牛顿定律

我们取一个小的立方体

这个设流体的质量密度是ρ

它所受的单位质量的

体积外力是f

我选这个作为研究对象

于是我现在研究x方向

x方向

它受的力

是这两个面积上的

压力的差

以及所受的体积力

在x方向的分力

这个力的和

应该等于

它的质量乘以加速度

这就是我们建立的

关于x方向的运动方程

因为没有粘滞性

所以在这两个其他的侧面上

没有摩擦阻力

所以只有这个面上的压力

这个面上的压力

还有体积力

是它所受的外力

等于它的质量

乘以它的加速度

所以我们看

质量乘加速度

等于两个压力的差

加上体积力在x方向的投影

在x方向

那么于是就可以写成这个形式

这个就是等于这是dSx

就是它dS这个以x为法线的面积

这个因为这两个一写的差

就可以写成∂P/∂x乘以dx

前边有一个负号

因为是它减它

乘以dSx

等于负的∂P/∂x

它俩一乘是dV

所以这个乘以它

就等于负的(∂P/∂x)dV

这是-(∂P/∂x)dV

这个是dmfx

这是dmax

我把dV除过去

它就变成了ρ

它也变成了ρ

它就只剩下了一个偏导数

所以最后结果

就是ρ乘以ax

等于这个负的∂P/∂x加上ρfx

这就是x方向上的运动方程

类似y z方向

都是这样的运动方程

这个运动方程

就叫欧拉方程

就是理想流体的基本的方程

写成矢量形式

就是质量密度乘以加速度

也就是质量密度

乘以它的实质导数

速度的实质导数

等于负的压强的梯度加上ρ

乘以单位质量的体积力

注意对欧拉法

这个速度的实质导数

应该是两部分

一部分对时间的偏导数

一部分是(v·▽)v

就是v点上v的梯度

这个公式的条件是没有摩擦

它是理想流体内

质元的运动方程

作为牛顿定律

对理想流体内质元的应用

关键是计算出

质元所受的面积力

是等于负的

它的压强梯度乘以dV

所以我们推导的关键

是导出这个关系式来

一般来说体积力

应该是高阶小

为什么我们这里边

有体积力出现呢

就因为我们这里头用的是

面积力的差

所以面积力的差

跟体积力是同阶小

所以它在这公式里面

它能够存在

下面我们看一下

定常流动中的法向分量

我们把欧拉方程

应用到定常流动中的

自然坐标系里面

定常流动

流线就是迹线

所以这既是流线也是迹线

那么由这流线就可以确定

质元运动的

它的切线方向跟法线方向

于是把欧拉方程

应用到自然坐标系的

切向跟法向

我们现在讨论的是

法向的分量

法向分量假设在这点

也是迹线也是流线的

曲率半径是r

取法线的坐标参量为n

于是这个欧拉方程就变成了

负的∂P/∂n

就是法线方向的压强变化率

加上ρ乘以fn

就是体积力的法向分量

等于谁呢

等于ρ乘以它的加速度

法向加速度

法向加速度就是v²/r

于是我们就得到这个结果

就是压强的法向的变化率

等于谁呢ρ

乘以体积力在法向的分量

减去ρv²/r

如果流线平直

这现在流线是一条曲线

也就是迹线是一条曲线

如果流线平直

这样的话

曲率半径趋于无穷大

这一项就是零

于是

就是∂P/∂n等于ρfn

∂P/∂n=ρfn

还记得跟我们以前推导的

静止流体

它的关系式是完全一样

也就是说

法向的压强差

等于静止流体的压强差

所以在流线平行的时候

我沿着法线方向的压强差

就相当于静止流体的压强差

如果我忽略了体积力

就是让体积力是零的话

那么在法线方向上

压强就相同了

就没有压强差了

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绪论

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-§3 相对运动-参考系变换

-习题

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-§3 牛顿力学应用

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-§4.非惯性系.惯性力(下)

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-§3机械能定理.机械能守恒

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-§1质点角动量.质点角动量定理

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-§2质点系角动量定理

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