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第三

流体中的平面声波

流体中没有剪切力

也没有拉应力

所以只有它的体应变

其中它的压强

等于负的平均应力

固体中这个体应变

等于ΔV除以V0

就等于（V-V0）/V0

V0是应力为零时的体积

胡克定律是它的平均应力

等于体弹性模量

乘以体弹性的应变

那么

这个体应变

就等于（V-V0）/V0

在小变形的情况下

那么ΔV除以V0趋于零

那么σ0就与V是线性关系

这是我们固体力讨论的

体应变和体应力之间的关系

在我们流体里面

情况就不一样

流体没有固定的形状

也没有应力为零的状态

就是你现在一个流体

它没有里边应力为零的状态

气体的体积变化相当大

它可以原来体积这么大

可以压缩到很小等等

所以气体体积变化很大

因此

我们讨论平衡态下的流体中

传播的声波

也就是机械波的时候

我们就不能

完全套用固体的定义

那么质元是在现有的位置

因为它流体可以流动

在某一时刻它在现有的

所谓的平衡位置附近

有微小的振动

这个振动叫声振动

它的位移就要用ξ来表示

所以是在它在这一时刻

它在平衡位置的一个振动

我们是用它的位移来表示

比如时间长了

它可能移动到另一地方去了

那个移动不算是它的声振动

然后在平衡态的压强下

平衡态

就是我流体处于一个平衡态

其中它有一个压强

这个压强一般比较大

我们用大写的P来表示

就是在平衡态的时候

我这流体里面

有一个稳定的

常数的压强分布

这就是压强

如果有了机械波传进来

那么在这个大P的背景下

产生一个小的压强的波动

或者叫压强的起伏ΔP

ΔP就是我们所说的机械波的

压强的改变量

我们以后用小写的压强

来表示这ΔP

就是机械波声波的压强

所以声波的压强

用小写的p

小写p代表了

平衡态里边压强背景下的

一个声振动引起的起伏

流体的传播声波

它是相当于

它的声波的压强起伏

压强除以背景压强

在流体力传播声波的时候

这个量p

小p远远小于大P

也就是声压的波动

是除以原来的压强

平衡态压强趋于零

所以它实际上声波引起的变化

也是小变化

尽管你可以比如说

我气体体积有个比较大的变化

压强有比较大的变化

但是真正声波引起的

体积的改变

压强的改变

还是小量

这样的话ΔV除以V趋于零

这个ΔV是我们的机械波

也就是声波引起的

体积的改变

除以原来的体积

它应该是零

所以也是一个小变形

定义

流体的体应变

那么等于谁呢

等于ΔV除以V

这个ΔV是由声波引起的

体积的微小变化

那么在小变形情况下

声压与体应变成正比

所以声波引起的压强

跟它的体应变是成正比

然后注意前边有一个负号

为什么会有负号

固体里面它为什么没有负号呢

因为固体里面是应力

平均应力

跟体应变是正的关系

而我在流体里边压强

等于负的应力

所以这里出现一个负号

就等于-KΔV/V

这就是我们小变形情况下

我们在流体里边的声压

和它的体应变的关系

那么

K称为体弹性模量

液体变形很小

它跟固体的性质很类似

但是气体变形很大

所以它的K是平衡态下的

压强和体积的函数

在大的变化范围内

它不是常数

但是在确定的平衡态

就是我这状态

宏观状态已经确定了

确定的宏观状态情况下

它是一个确定的数值

在这种情况下

声波的K和ρ

可以看作常数

所以我们注意这一点

特别是气体中的声波

跟固体液体有很大区别

它是在一个确定的背景情况下

一个确定的宏观态情况下

我引起的小的声波

引起的改变

这个时候K跟ρ

就可以看作常数了

但是如果气体的状态

发生了很大变化

它的K跟ρ

也要随之发生变化

现在我们讨论一下

流体中的平面声波

就把我们刚才讨论的情况

引用进去

沿Z轴传播的平面流体纵波

那么ξ等于ξz(z,t)

它是沿着z方向的纵波

所以沿着z方向传播的平面波

它的位移也沿着z方向

大家看

跟我们以前讨论的类似

也是取一个小的柱体

质心是在c上

横截面积是ΔS

长度是Δz

质量密度是ρ

于是在这个平面横波的情况下

只有z方向振动

ΔS不变

ΔV/V

因为这个方向有改变

横截面积不变

所以体积的变化

就是这个长度的变化

长度的变化

就由于ξ引起的变化

所以它的ΔV/V

等于Δξ/Δz

如果Δz趋于零的时候

就是∂ξ/∂z

所以我们注意到

平面波的情况下

ΔV/V

就是∂ξ/∂z

所以体积的改变量

跟我位移的导数

建立起关系来

这样的话

我同样把这个作为对象

来研究

仍然是z方向

z方向质量乘以它质心的加速度

等于它

它现在受的就是压力

压力差等于压强差

乘以横截面积

这个压强注意小写的压强

它是指的声压

不是我宏观的背景压强

宏观背景压力是相同的

所以这是声压

那么现在Δz趋于零

于是质心坐标

就是这点坐标

然后这两个的差

就可以变成

9∂p/∂z)Δz

把这个结果代进去

我们得到了

ρ(∂²ξ/∂t²)

等于负的∂p/∂z

跟前边结果类似

得到这个结果

然后

把p和体应变的关系代进去

p等于负的k乘以体应变

体应变是ΔV/V

那么ΔV/V我们刚才说

可以用∂ξ/∂z来表示

然后把这个结果代进去

于是又得到了

流体中的声波的微分方程

又是一个ξ对时间的二阶导数

等于ξ对z的二阶导数

前边有一个正的比例系数

于是我们就得到

流体中声波的波速v

等于根号下K除以ρ

那么我们又讨论到得到这个结果

所以我们讨论

这几种情况下

都得到了一个微分方程

然后由微分方程

得到了它的波速

我们看到这波速

确实是由介质性质决定的

我们这个微分方程

是以流体中质元的位移

作为参量建立起来的

更常用的是用声压p做参量

建立起流体的波动方程

它是压强波

压强波是标量波

我们看一下

怎么从波动方程

来推导出压强波来

刚才已经推导出来

负的∂p/∂z

等于(∂²ξ/∂t²)

就刚才已经得到这个结果了

我们由这个推导出

压强的波动方程

两边对z求偏导数

这个求偏导数

就是负的

∂²p/∂z²

就是压强对z的二阶偏导数

再看这边

这边是对它求偏导数

对它求偏导数

我们先对这个时间

这前边已经有

对时间的二阶导数了

我们先把这个放在前边

然后直接先对ξ

对z求偏导数

就是位移对它求偏导数

先对z求偏导数

对它求偏导数的时候

我们看到刚才说压力

和ξ对z的偏导数

有这个关系

于是它对这个的偏导数

就等于p除以负K

所以等于∂²/∂t²

对谁呢

对负的p除K求偏导数

把K是常数提出来

就是负的ρ/K

∂²p/∂t²

大家看这是压强

对z的二阶偏导数

这是压强对时间二阶偏导数

就有了波动方程的样子

整理一下

就是∂²p/∂t²

p对于时间二阶导数

等于K除ρ

p对z的二阶导数

这就是以压强为参量

它的波动方程

液体K ρ是已知的常数

直接计算声速

我们刚才说了

液体的性质很类似固体

它的K和ρ

是一个确定的已知的常数

但是对于气体来说

K是等于limΔV趋于零

-V(Δp/ΔV)

这是K

因为p是等于Δp

等于负的Kεv

所以K就等于把这个乘过去

就是等于

ΔP乘以V然后再除以ΔV

所以由这个式子

我们知道K是等于这个

等于这个现在把ΔV趋于零

取它的极限

那么ΔV趋于零的时候

这就变成了P对V的偏导数

所以它等于-V(∂P/∂V)

这就是气体的时候

它的体弹性模量

等于-V(∂P/∂V)

牛顿1687年

首先推导出空气中的声速

他认为空气中的声波

是一种等温过程

等温过程的话

理想气体有一个波义耳定律

就是P乘V等于常数C

现在要求∂P/∂V

所以等温情况下的体弹性模量

就等于-V(∂P/∂V)

那么这个式子求∂P/∂V

P等于C除以V

它对V求导

就等于负的C除以V²

C等于是P乘V

把它代进去

最后得到∂P/∂V

等于负的P除V

把这个代到这个式子里面来

于是等温情况下的体弹性模量

就等于压强

这压强注意是大写的压强

大写的压强

就是状态的平衡态的压强

等温情况下的

空气中的声速

就等于根号下K除ρ

K刚才得到就是P

于是等于根号下P除ρ

这样的话计算出来

在标准状况情况下

标准状况情况下

就是零摄氏度

那么这时候

它的大气压是一个大气压

1.013乘以10的5次方帕斯卡

那么ρ等于1.29每立方米公斤

把这个结果代进去

得到了它的声速

是每秒280米

这个结果和实验结果

相差比较大

实验结果是每秒330米

那么于是在1816年

拉普拉斯重新考虑这个问题

认为声音的传播

它不是等温过程

而是绝热过程

按绝热过程计算的时候

它的声速等于还是K除ρ

然后开方

但是这个K不再是P了

它是什么呢 γP

于是应该是根号下γP除以ρ

那么这样计算的结果

声速是每秒332米

跟实验结果非常接近

那么这个情况下

也是标准状态

这γ是等于1.40

是空气的比热容比

应该是在标准状态下

跟这个实验非常接近

说明什么呢

说明空气中声波的传播

是一个绝热过程

总结

固体的纵波横波

和流体声波都是弹性波

是连续介质内

弹性的应变

和弹性引起的弹性内力

所以实现了整体的波动

所以是弹性体

有应变有应力

应力应变之间有一个联系

实现了一个整体的波动

由平面波的特点和动量定理

我们那里边这个公式

就是Δm乘以质心加速度

等于它所受的合力

这是什么呢

这是质点系的动量定理

相当于质心的运动方程

所以由动量定理

得到了这样的共同规律

就是ρ乘以

位移对时间的二阶导数

等于应力对z的偏导数

那么对于这个是正应力

这个是剪应力

所以关系式都是相同的

然后由应力应变的特点

特别是考虑到了应力状态

那么得到了

同样的波动方程

这是波动方程

这个是关于位移的波动方程

这是关于声压的波动方程

这是我们的共同特点

这样的话我们发现

波速是谁呢

是正比于相互作用

Y G K来表示

跟相互作用的平方根成正比

跟它的惯性

也就是它质量密度

的平方根成反比

这是我们得到的

共同的规律

这是我们固体里的纵波横波

和流体里面的声波

得到的一个共同结果

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

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-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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