当前课程知识点：力学 > Ch1.质点运动学 > §1 矢量简介 > Video

返回《力学》慕课在线视频课程列表

Video在线视频

Video

下一节:Video

返回《力学》慕课在线视频列表

Video课程教案、知识点、字幕

那么我们现在已经讨论了

矢量的各种各样的问题

好像已经都讨论完了

但是我们回想一下

还是有一个重要问题没有说明

或者没有解决

什么问题呢

我们知道什么是矢量呢

既有大小又有方向的含义

因此我们就希望

能够对一个矢量的大小的变化率

跟方向变化率

要分别的明确的表示出来

可是现在我们并没有明确表示

那同学说

你已经有了这个矢量的导数了

变化率了

可是这个变化率包含了两项

都包含在里面

没有明确的说明

所以下面

我们还有一个重要的问题

要把矢量的变化率

分解成矢量的大小变化率

和方向变化率

我们如果能把矢量的大小变化率

跟方向变化率

分别的分析出来的话

这叫矢量的本征变化率

就是它最基本的

体现它性质的变化率

实际上我们中学已经知道了

这个矢量的方向变化率

大家知道矢量大小变化率

这是跟标量的变化率是一致的

所以真正对于我们来说

比较新奇的

不知道的

是矢量的方向变化率

可是同学们中学学到的知识里面

已经包含了矢量

单纯由于方向变化

引起的变化率已经有了

什么呢

我们就看匀速率圆周运动

给我们的启发

匀速率的圆周运动

那么因为是做圆周运动

所以这个质点的矢径

大小不变

它改变的只是方向

因为在这个圆周运动中

速率不变

所以运动过程中

速度的大小也不变

因此在匀速率圆周运动中

矢径的变化率

就是单纯因为方向引起的变化率

匀速率圆周运动中

速度的变化率

就是单纯的速度方向的变化率

我们知道

矢径的变化率是速度

所以在匀速率圆周运动中的速度

就是矢径的单纯的方向变化率

我们要知道加速度

是速度的变化率

在这个匀速率圆周运动中

加速度

就是速度的单纯的方向变化

我们由这个来看一下

单纯的方向变化率

它是什么特点

首先大家看

这是矢径

矢径所对应的速度是这个方向

所以矢径的单纯的方向变化率

是跟它垂直的

所以v垂直r

v是r的单纯的方向变化率垂直

那么速度的单纯方向变化率

是不也这样呢

我们知道速度这个方向

速度的单纯方向变化率

加速率

匀速率圆周运动

加速度是法向的

所以也跟它垂直

垂直情况下

有可能是这个方向

也可能这个方向

那它的变化率什么方向呢

原来矢径这个方向

然后顺着转动方向转90度

就是它的变化率的方向

所以指向了转动方向

同样速度这方向

它是这么转

向转动方向转90度

就变成了它的变化率的方向

所以第一个特点

变化率跟原来矢量垂直

第二个特点

这个方向

是沿着这个转动方向转90度

最后再看大小

它的方向变化率大小如何

我们知道速度

是等于角速度乘以半径的

所以这个矢径的

单纯的方向变化率

就等于角速度乘以它

我们要知道向心加速度

是ω平方r

ω乘r是速度

所以就等于ω乘v

所以v的方向变化率

就是ω乘它

这个大家就看出规律来了

所以我们把这个结果

推广到这个任意矢量的话

那么任意矢量

它的方向变化

单纯的方向变化

都跟它垂直

指向跟转动方向转90度

而且大小等于角速度

乘以它的矢量本身

这是这样的三条规律

这样的三条规律

我们说太麻烦了

我们怎么样呢

有个简单的办法

我们先引入一个角速度矢量

我们现在的矢量

是几何矢量矢径

加速加速度这都是矢量

现在我们引入一个新的矢量

角速度矢量

看如何定义角速度矢量

比如说矢径

矢径在一个面上转动

这叫转动平面

它跟这个x轴有个夹角是Φ

于是它这么转动

转动的角速度的大小

等于dΦ/dt的绝对值

这就是角速度的大小

那么

我们要想定义角速度矢量

还要给出角速度的方向

这方向怎么定义呢

定义角速度的方向

垂直于转动平面

垂直转动平面又有两个方向

怎么定义呢

这个方向

还要跟转动方向右手关系

你现在转动方向这么转

所以右手关系

这个角速度就向上

于是我们就给这角速度

定义了大小跟方向

但是它是不是矢量呢

是不是矢量呢

要证明它

还有一个三角形法则的加法

这个证明也很麻烦

我们也是在教材里面

有这个说明

大家有兴趣可以看一看

我这么定义了角速度

同样也可以定义一个

无限小的转角

大家看

我dt时间内

这个转过一个dΦ的角度对吧

dΦ角度

于是我们dΦ角度的大小

定义做dΦ的大小

然后再定义dΦ的方向

也是右手方向

于是就定义了

一个无限小的角位移矢量

dΦ是个无限小的角位移

它也是矢量

这也可以证明它是矢量

所以写作dΦ箭头

但是大家需要注意的是

无限小的转角是矢量

但是有限的转角

比如说转个50度

转个70度

有限转角

你如果给它定义方向

这可不是矢量

因此Φ这个角度

也不是矢量

所以我们要画箭头的时候

不能把箭头画在Φ上

一定要整个画下来

整个才是矢量

所以我们现在定义了角速度矢量

和无限小转角矢量

有了角速度矢量

就可以把这个矢量的方向变化率

非常简单的描述出来

r的单纯方向变化率

就是r的变化率

由于方向引起的变化率

就等于ω×r

大家看

我这个在这个圆周运动里面

矢径是这个方向

ω转动是这个方向

ω×r正好是这个方向

所以正好是跟它垂直的方向

ω×r

因为ω跟r是互相垂直的

ω×r的大小

正好等于ω乘r

所以这是完全正确的

同样v的单纯方向变化率

等于ω叉v

v是这个方向

ω是这个方向

一叉正好是跟它垂直的

向心加速度的方向

大小等于ω乘v

所以这是完全正确的

因此任意的一个矢量

它单纯由于方向改变

引起的变化率

等于ω×A

这就是一个A矢量

它单纯的因为变化

因为转动引起的方向变化率

就是ω×A

最后我们要说一下

单位矢量的

单纯的方向变化率

其实不必说单纯这两个字

因为什么呢

作为单位矢量

它的大小永远是不变都是1

所以如果单位矢量要改变的话

只有方向变化

所以任何一个单位矢量

A的一点它的变化率

永远等于ω×上它

ω×它

就等于ω乘以

这个叉积之后的方向

大家看这是单位矢量

跟它垂直的这方向

我取做Φ这个单位矢量

于是就可以写成ω乘以它

为什么呢

因为它×它

因为互相垂直

大小就等于

它的大小乘它的大小

它的大小是1

所以最后就是ω乘以这个东西

或者是Φ一点

Φ的变化率乘以Φ 乘以它

这就是单位矢量的变化率

我们说方向变化的原因

都是因为转动

所以所有的方向变化率

都跟转动有关

这是ω×它

下面我们把一个矢量变化率

完全的表示出来

就是既有大小变化

又有方向变化

咱们刚才讨论的

是只有方向变化没有大小变化

现在呢

我们同时具有大小和方向改变

看它可以表示成什么形式

从数学上看

很容易得到结果

A的变化率

A刚才说它可以写成

模乘以单位矢量的形式

我对它求导的时候要分两项

先对它求导

就是A一点乘以A的单位矢量

然后再对它求导

就等于A乘以单位矢量的导数

我们刚才说了

单位矢量的导数只有方向改变

所以就是ω×上这个矢量本身

ω×矢量本身再乘以A

就等于ω×上矢量

于是我们任意一个矢量

我们学到现在就发现

都可以写成一个

大小变化的分矢量

和方向变化的分矢量

大小的变化率

大家一看是这个结果

就是它的方向不变

是它的模有个变化率

方向改变

方向变化

ω×它的时候

ω是这个方向

A是这个方向

一×跟它垂直

所以它的方向变化率的矢量

是跟原来的矢量垂直的

大小等于它乘它 ω乘A

所以就是这个结果

这是我们通过数学运算

得到的结果

我们现在直接可以讨论

这个方向变化率的分解

我们来看

这个是t时刻的A矢量

这是过了一段以后

这个A矢量

t加Δt时刻的A矢量

所以在Δt时间内

这个矢量的增量是ΔA

我们可以把ΔA分解成两个

我们让这一段长度

等于这一段长度

于是从这儿到这个的矢量大小

就是A的大小的增量

然后方向不变

是A的方向

然后这儿有一个矢量

所以可以把ΔA分解成

这个矢量加上这个矢量

我们现在让ΔΦ趋于0

ΔT趋于0

就把这Δ换成了什么呢

换成了微分

它趋于0的时候可以用微分表示

于是这个角度就是dΦ

这个就是dA

就是A矢量的微分

那么这个角度就近似为90度

这个长度就是dA

所以这个矢量

是这个微分的

大小的变化的部分

这个矢量就跟它垂直

这个矢量

就是它的方向变化

引起的增量

引起的微分

那么我们看

因为这个是垂直

所以这个的大小

等于A乘以dΦ

所以它的大小等于A乘以dΦ

它的方向跟它垂直

大家看这个dΦ是个矢量

我们刚才说dΦ

是一个无限小转角矢量

角位移矢量

它的方向是什么方向呢

因为dΦ这么转

所以它的方向是向里的

这个dΦ一×这A

正好是这个方向

所以这个矢量

可以写作dΦ这个矢量×上A

就是无限小转角矢量×上A本身

就是这个增量

所以在微分情况下

我们就可以把

任意一个函数的微分

可以分解成两个

一个是这个的微分

一个是这个的微分

这个的微分

它的方向不变

大小有个变化

这个微分

它的方向跟原来方向垂直

所以这个就是这个矢量

它的大小的微分

这个矢量

就是方向改变引起的微分

这就是大小变化引起的微分

方向变化的微分

所以我们通过这个讨论

就可以把矢量

分解成大小的微分

和方向的微分两部分

就可以把它明确的分出来

如果把这个式子除以dt

那么就是这个除以dt

变成了A一点

这个除以dt

这个dΦ除以dt就是角速度矢量

就变成角速度矢量

就是我们刚才说的

变化率的分割

第一项

就是由于大小改变

引起的变化率

第二个

由于方向变化引起的变化率

所以通过这个讨论

我们不但验证了

刚才变化率的本征的分解

而且还增加了

一个函数微分的本征分解

这样的话我们通过这个讨论

不但得到了变化率的

本征情况下的分解

也得到了一个函数微分的

本征的分解

这样的话呢

我们第一节就结束了

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:

© 柠檬大学-慕课导航课程版权归原始院校所有，
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引，不提供在线课程学习和视频，请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。