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下面我们来讨论一下

相对论质点的动力学方程

所谓动力学方程

就是力和加速度之间的关系

在牛顿力学就是F等于ma

我们现在看一下

在相对论动力学里面

力和加速度

是什么样的关系

首先看一下质点动力学方程

注意

质量不是常数了

那么力等于动量的变化率

动量等于m乘以v

这是相对论质量

然后mv对t来求导

这一求导

因为m不再是常数了

所以要出来两个式子

一个是先对v求导

这就是加速度

一个是m对t来求导

下面来求一下

m对t来求导

m咱们刚才说了

m是等于m0

（1-v²/c²的负二分之一次方）

m0可确实是个常数

可以提出来

就对它求导

对它求导先把这个看作u

对它来求导

然后u再对谁呢

再对v来求导

就是求导两次

最后结果就是这个结果

m0 1-v²/c²的

负二分之三次方乘以v

然后v一点除以c²

v一点就是加速度

这就是加速度

m0乘以1-v²/c²的

负二分之一次方就是m

于是这就剩下了

1-v²/c²的负一次方

负一次方再跟c²相乘

结果就变成了c²-v²

于是这个式子就变成了

v·ma/c²-v²

ma我们用这个式子来代

大家看

ma等于F-vdm/dt

所以它等于是F-vdm/dt

这样的话我们看到

这个式子就是一个

关于dm/dt的一个方程了

把它解出来

就得到了dm/dt的表达式

解出来等于多少呢

dm/dt就是m对时间的微分

等于F·v/c²

这是一个非常重要的结果

希望大家能记住

于是我们就得到了

相对论动力学的基本的方程

就是F等于ma+vF·v/c²

或者写成更常用的形式

把a挪过来

把m除过去

a等于F/m-vF·v/mc²

这就是相对论质点的

动力学方程

这也是最常用的形式

我们对这式子加以说明

首先它和我们牛顿力学

F等于ma是截然不同的

特别重要的

它这里面有两个加速度

在力的作用下

一个加速度

是在沿着力的方向上

有个加速度a1

就是F除以m

还有一个在负v的方向上

这不负v的方向上嘛

有这么一个加速度

所以在力的作用下

同时有两个加速度

这就是它的最大的特点

我们来看

经典力学近似

当v小于小于c时候

那么这一项就可以略去

就是v小于小于c的时候

这一项就完全可以忽略不计

而且我们刚才说了

在速度非常小的时候

相对论质量

就约等于牛顿质量

于是a就约等于F除以相对论质量

约等于F除以牛顿质量

这就是在牛顿力学里边的

F等于ma

所以在低速情况下

在经典力学成立的领域里面

它可以归结为牛顿第二定律

我们现在来看一下

这个方程的分解

那么这是刚才说的

动力学方程

那么它分解的时候

因为这里有个F·v

所以最合适的分解的坐标系

就是自然坐标系

那么自然坐标系的切向的分量

就是切向加速度

等于切向力除以m

乘以1-v²/c²

就是这个

因为切向力F·v就等于Ft乘以v

所以写出来的话

就得这个结果

那么把m写成m0

就变成了切向力除以m0

1-v²/c²的二分之三次方

这就是切向的分量

再看法向分量

法向分量这两个一点积是零

所以只剩下这一项

就是法向力除以m

把它写做m0

就是这个结果

于是这个式子

在自然坐标系应用的最方便

我们现在看一个例子

静止质量为m0的质点

从静止开始

在恒力作用下运动

求t时刻它的速度

这个也是以前很多人

对相对论的一个疑问

因为相对论说明

一个实物粒子的速度

永远要小于光速

有人就说了

我现在用一个常力来拉质点

一直拉下去

子子孙孙不停

它终有一天

它的速度要超过光速

所以我们来分析一下

是不是有这个问题

这就是一个质点

从静止开始

受一个常力作用运动起来

那么按牛顿力学的话

这个非常好计算

因为这是常力作用

它的加速度是常数

于是t时刻的速度

就等于加速度乘以t

加速度等于力

除以惯性质量

牛顿质量

那么也就是约等于m0

于是就是Ft除以m0

这就是牛顿力学的结果

这样的话

当t趋于无穷大的时候

确实速度可以是无穷大

远远可以超过光速

但是

我们如果用相对论力学的话

结果就不同了

对相对论力学来说

因为它从静止开始加速

所以力是跟v是同方向的

属于切向的情况

于是我们的加速度

就等于dv/dt等于F除以m0

1-v²/c²的二分之三次方

就是咱们刚才的切向力的

那个公式

然后这样的话

我把它分离变量

就可以积分了

把这个v除过去

这个dt乘过来

就可以积分了

积分的结果

就是这个结果

这个结果还不完

我还要把这v再求出来

是两边平方求出来

最后得到

t时刻的v等于Ft除以

m0根号下1+(Ft/cm0)²

我们对这个做一下讨论

当t很小的时候

这一项小于小于1

这一项可以忽略不计

于是t时刻的v约等于Ft/m0

这就是牛顿力学的结果

所以在t很小的时候

时间不是很长的时候

速度不是很大的时候

我们近似为牛顿力学的结果

当t趋于无穷大的时候

这一项就远远超过1了

那么这样的话

这个结果v就趋于c

所以t趋于无穷大的时候

速度趋于c

但是永远不可能等于c

更不可能超过c

这就是我们相对论力学的结果

我们还有一个方法

就是更简单的方法

我们不用这个动力学方程

我们直接用动量定理

由动量定理

动量的增量

末态是mv

初态是零

动量增量等于谁呢

等于力在这一段时间的冲量

那么冲量就是

力乘以时间0到t的积分

力是常力可以提出来

就是Ft

所以积分结果很容易

于是

我们立刻就得到了这个结果

然后再平方一次

就可以把vt求出来

跟这个结果是一样的

所以这个办法更简单

所以我们常常

不去用这个动力学方程

我们直接用动量定理

可能是更方便一些

在牛顿力学里面

F等于ma是最基本的

最常用的方程

可是相对论动力学中

由于相对论质量不是常数

因此这个方程并不常用

最常用的最基本的

是直接应用动量定理

就是用动量P而不是用mv

来解决问题

这个需要大家注意一下

我们看一个例子

静止质量为m0

电量为q的一个带电粒子

速度为v0

垂直进入到一个均匀磁场B里面

让你求一下它的运动情况

这个磁场是垂直向里

它的磁感应强度是B

那么它垂直进入

就这么横着进来了

初速度是v0

我们讨论一下它运动

由电磁学速度为v

电量为q的带电粒子

受到磁场的洛仑兹力

等于qv×B

这个是它的v

这个是B

所以叉积

是跟它的速度方向垂直的

也跟B垂直

考虑相对论效应

由相对论动量定理

那么力等于动量变化率

动量变化率可以写成它的

大小变化率

和方向变化率的形式

现在我们讨论切向

就是沿着这个P的方向

切向的时候

我们知道刚才说了

这个洛仑兹力

是跟速度垂直的

它是法向力

所以它的动量的变化率是零

于是动量是常数

就是P0

电子的动量大小不变

那么速率也不变

仍然保持v0

法向

于是法向力qv0B

就等于谁呢

等于是ω×p在法向上的投影

它这个就是

叉上以后就是法向

它是这么转的

ω×p就是这个法向

所以它就是法向

所以就是ω乘以p0

它不是p等于常数p0嘛

那么ω是等于v0除以ρ

ρ是曲率半径

于是就得到了

粒子轨道的曲率半径ρ

等于p0除以qB

p0等于m乘以v0

然后把m换成m0

就得到这个结果

这个就是这个常数

于是这个粒子

就做着一个半径为R的

一个圆周运动

另一种方法

我们用相对论动力学方程

这是切向的方程

这是法向方程

那么切向方程的话

因为切向力是零

所以切向加速度是零

于是v等于常数等于v0

法向方程

那么法向力

就是qv0B等于man法向加速度

法向加速度

就是这个Fn除以m

就是这个

那么于是我们就整理一下

也得到了这个曲率半径

跟上边的结果是一样的

所以我们可以直接

用动量定理来计算

也可以

用相对论动力方程来计算

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

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-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

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-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

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-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

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-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

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--作业

-§5波动方程.波速

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

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-§8驻波

-习题

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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