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第二节

保守内力势能

这节引入势能

首先证明一个追求的结论

一对相互作用力的合功

它是跟参考系无关

我们知道

我们上一节曾经反复强调

做功是跟参考系有关的

但是呢

一对相互作用力的合功

却与参考系无关

所以这是一个非常重要的性质

下面我们来证明一下

我们先选一个地面参考系S系

两个质点m1 m2

相互作用力f1 f2

大小相等方向相反

在一条直线上

大家注意一下

这个m1的质点坐标是r1

它的坐标是r2

在dt时间内

它的位移是dr1

它的位移是dr2

于是

这两个相互作用力的合功

就等于f1·dr1

加上f2·dr2

因为这个矢径的微分

也就是它的位移

是以参考系有关的

所以写到这儿

我们还不能得到证明

我们现在利用

两个相互作用力的性质

f2等于负的f1代进来

就写成f1点上dr1减去dr2

把微分号挪出去

就是r1减r2

r1减r2就是这个矢量r′

于是

一对相互作用力的合功

就等于f1·dr′

我们注意到这r′

是由两个质点的位置

决定的矢量

因此

换了任何一个参考系

r′都是相同的

也就是说r′与参考系无关

那么说到这儿

我们是不是就能够确定

因为r′跟参考系无关

是不是能确定这个点积

也就是合功与参考系无关呢

如果你仔细学了前边内容

就会发现

这还不对的

为什么呢

因为同一个矢量它的微分

在不同参考系看是不一样的

我们曾经讨论过

在S参照系看r′的微分

和在S′系看的微分

是不相同的

差别在哪儿呢

如果S′系相对S参照系

有个转动的话

那么还要差一个

dθ这个矢量叉上r′

dθ就是S′系在dt时间内

转过的无限小角位移矢量

它有这个关系

所以

我们还要继续证明

S参照系的元功

等于谁呢

我们刚才看

是等于S参照系里面

这个的点积

换成S′系

就是S′系里边看的点积

加上f1点上dθ叉上r′

这一项就是在S′系看

这个的点积

就是在S′系看

一对相互作用力的合功

这是没问题的

关键是这一项

我们刚才注意到

f1跟r′在一条直线上

而dθ一叉它

叉出来的矢量

是跟那条直线垂直的

我们在这个方向上的矢量

点上跟它垂直的矢量是零

所以这一项是零

才保证了dWS参照系

等于dWS′系

也就是说

一对相互作用力的合功

在任何参考系看

都相同

就证明了这个结论

所以这是一个非常重要的结论

由这结论

我们可以有若干的推论

首先

我们可以任意选取参考系

来计算一对相互作用的

力的合功

它的结果都相同

所以可以任意选

然后我们知道

相互作用力是一对一对的

所以它的合功

一定是跟参考系无关

所以就是

内力的合功一定跟参考系无关

这样的话

我们可以举几个例子来看一看

这个推论得到的一些结果

比如说

一对正压力的合功为零

比如这有一个楔形物

上边放着一个滑块

滑块对这个斜面有个正压力

同时斜面对它也有正压力

这叫一对正压力

如果这个斜面也动

滑块也动的话

这对正压力是做功的

可是我们可以证明

这一对正压力的合功一定是零

因为什么呢

我们可以选取斜面

作为参考系来计算

斜面做参考系

斜面不动

滑块在它的表面上滑动

正压力跟滑动的滑块的

运动方向垂直

所以做功是零

你在这个参考系

说明了它做的合功是零

于是在任何参考系看都是零

所以一对正压力的合功是零

类似我们可以讨论

一对静摩擦力的合功是零

两个物体相互有静摩擦力

如果都动起来的话

可能每个力都做功

但是

你选取其中一个物体做参考系

那个物体是不动的

所以静摩擦力是不做功的

也就是一对静摩擦力

做的合功是零

同样

一对滑动摩擦力的合功

一定小于零

我选其中一个物体作为参考系

那个物体所受摩擦力

一定跟它运动方向相反

所以它做的功一定是负的

所以

如果你没有这个结论

你来讨论这些问题

都是很麻烦的

因为它有各种各样的情况

有各种各样的

不同的参考系来讨论

情况各自不一样

可是我任选了一个参考系之后

选择一个合适的参考系之后

就可以证明这样重要的结论

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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