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我们现在讨论两质点系统

在质心系里边的动能

和对质心的角动量

如何计算

在惯性系看

质心的速度

等于m1v1+m2v2除以M

M是总的质量

现在两体方法的速度

假如用v来表示的话

我们注意两体方法的速度

指的是两个质点的相对速度

所以这个两体方法里的速度v

就是v2减v1

我们现在换成质心系

在质心系

它是一个零动量系

所以它的m1v1′等于负的m2v2′

它是零动量系

v1′这是它在质心系的相对速度

等于它的绝对速度

减去质心的速度

我们把这个结果代进来

于是就等于负的m2v除以M

这个v就是v2减v1

所以把这结果代进去

再利用这个结果

那么就得到这个结果

这是对第一个质点的相对速度

也就是在质心系的速度

同样第二质点在质心系的速度

可以写成m1v除以M

就是这俩差个符号

这m1换成m2

换这个形式

我们由这个结果

就可以来计算谁呢

计算在质心系里面

两个质点对质心的角动量

在质心系里面对质心角动量

等于第一个质点它的矢径r1′

叉上第一个质点的动量

它的动量就是m1v1′

这是第一个质点

相对质心的角动量

同样这是第二个质点

相对质心的角动量

把mv1′

是这个结果

v2′

是这个结果代进来

于是就等于负的r1′加上r2′

叉上

注意这是μv

叉上μv

负的r1′

就是它的方向变成这个方向

加上r2′

就是从力心O点

到质点的折合质量这个质点的矢径

所以对于这个质心的角动量

就等于这个矢径叉上μv

μv就是折合质量的质点

它的动量

它一叉它

就等于对这个力心的角动量

也就是两体方法里边

对力心的角动量

所以我们看到第一个结果

质心系里边质心的角动量

就等于两体方法里面

对力心的角动量

类似我们可以计算出

在质心系里边的动能

分别是两个质点的动能

把这个v1′ v2′

用这两个结果代进去

最后整理以后

得到这个结果

这个结果是什么结果呢

就是质心系里边的动能

等于二分之μv方

这个v就是在两体方法里面

这个运动质点的速率

于是这个就是两体方法里面

运动质点的动能

所以质心系的动能

就等于两体方法里的动能

这就是我们得到的讨论的结果

因为势能是不随参考系改变的

所以质心系中的机械能

就等于两体方法的机械能

也就是说

质心系的里边

对质心的角动量

等于两体方法里

对力心的角动量

质心系里面的动能

等于两体方法的动能

质心系的机械能

等于两体方法的机械能

这是我们得到这样的结果

这个关系

提供了一个在质心系里面

计算动能 机械能

角动量的一个

简单的计算公式

我们再看

两体方法中的角动量和机械能

它应该是守恒的

我们从刚才那公式

就是两体方法里这个公式

我们就看到

它相当于谁呢

相当于在一个固定力心里边

质量为μ的一个质点

在有心力的情况下的运动

所以它的机械能是应该守恒的

角动量也应该是守恒的

这就是我们得到的结论

有了这样的结论

我们引入了两体方法

那么我们就要回头看一下

开普勒定律

是不是还正确

因为我们知道

我们前边讨论的

都是把太阳当作力心

固定力心来讨论

我们知道这是有误差的

我们用两体方法回头来分析

看一下

开普勒定律是不是需要修正

与精确的两体方法比较

我们前边固定力心里边的结论

是有误差的

包括速度 角动量

能量等等

都是有一些误差

现在我们做一下比较

我把太阳和行星看作两体

以太阳为固定中心

按两体方法来说

应该是μr两点等于F

而原来讨论的时候是写成

mr两点等于F

就差在这儿了

应该是把原来的m

质点的质量 行星的质量

换成折合质量

就变成严格的了

那么行星轨道是椭圆

太阳为一个焦点，

这是开普勒第一定律

我们说

即使你把它修正成这个形式

这个结论是没错的

它仍然是一个

这个折合质量的质点

应该做一个椭圆运动

这是没错的

所以开普勒第一定律

是不需要修正的

只是其中的一些运行参数

需要修正

把这个原来的惯性质量换成μ

就可以把其中的参数进行修正了

这样的话

对于太阳的角动量守恒

因此面积速度为常数

这是开普勒第二定律

显然也是对的

所以

开普勒第一定律 第二定律

是不需要修正的

是正确的

只是其中的参数需要修正

只要把m换成μ就可以了

真正需要修正的

是开普勒第三定律

我们看开普勒第三定律

严格的讲

现在用两体方法讨论的时候

应该是折合质量

乘以它的径向加速度

等于μ乘以负的h平方除以Pr方

这个是我们原来推导的结果

这个是原来推导的径向加速度

这是没错的

只是把原来的这个m

换成了现在折合质量μ

它应该等于多少呢

应该等于它的所受的力

万有引力

这是没错的

我们刚才说力保持是不变的

这样的话按原来的讨论

这是小写的m

是行星的质量

是跟这个要约掉的

可是现在写成了一个折合质量

它就约不掉了

所以

最后的结果就是G（M+m）

M是太阳质量

这是行星质量

等于多少呢

h平方除以P

由开普勒第一定律

开普勒第二定律和运动学

可以证明

h平方除以P

等于4πa的立方除以T方

大家看这就是半长轴的立方

除以周期的平方

在原来的开普勒第三定律里面

认为这是一个太阳系的常数

跟行星无关

现在大家看

它不是一个严格常数了

它还有一个谁呢

跟行星的质量有关

所以修正以后

半长轴的立方除以周期的平方

不再严格是一个太阳系常数了

还跟行星的质量有关

那么原来的话是这样的

只跟太阳的质量有关

所以误差就出现在这儿

所以第三定律需要修正

就是长半轴的立方除以周期的平方

不再严格是一个太阳系的常数

那误差有多大呢

我们看

这个精确的结果除以近似的结果

就等于太阳质量加上行星质量

除以太阳质量

对最大的行星木星来说

木星的质量最大

它的影响多大呢

它的结果是1+9.5×10的负4次方

就是它的误差

大概是10的负三次方

所以这个开普勒第三定律

确有误差

但是误差很小

在当时的观测情况下

几乎观测不到

所以当时认为这个

开普勒第三定律

还是比较精确的

现在我们分析

它不是非常严格

是有误差的