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Video课程教案、知识点、字幕

我们讨论一下

角动量定理的应用

在一个光滑的水平面上

有三个质点

1 2 3三个质点

它们的质量都是m

质点2、3用一根轻杆

不考虑质量的轻杆连接

现在它放在光滑的水平面上

这两杆这么放着

这个第一个小球

它沿着这个方向来碰撞2

这个方向

是跟它的连线方向垂直的

碰撞之前的速度是v0

碰之后这个第一个小球

静止不动了

它的速度v是0

这样的话

2 3小球就动起来了

而且有一个旋转的角速度

那么现在就让你求

碰撞以后这杆的转动角速度

就是这么一个问题

我来分析一下

我们以1 2 3 小球

还加上杆为系统

所有的力大家看

所有的外力

重力支持力

都是平衡力

所有的外力都是平衡力

因此这个整个系统

动量一定守恒

而且对于任意一个固定点

角动量都守恒

所以这是它的一个特点

那么这样的话

我们由动量守恒

就可以计算一下

假设这两个2 3小球

它的质心

大家注意这c星号质心

是2 3两个小球的质心

c星号

假设它的碰撞之后

它的速度是vc星号的话

那么由动量守恒，开始的动量

质点系开始的动量

等于谁呢

等于碰撞之后

2 3两个小球的动量

因为它停止不动了

2 3小球的动量

2 3小球的动量

等于它的质量乘以质心的速度

所以就等于2m乘以vc星号

于是vc星号

就等于二分之v0

也就是说

碰撞之后这两点的质心方向

也是沿着这个方向

就是沿着x方向

是这个方向的

由动量守恒

而且我们知道

这两个是由杆连接起来的

所以它如果有y方向的速度

它有同样的y方向速度

可是因为碰前后

它的总动量

整个系统总动量

都是x方向的

所以这两个小球

没有y方向的速度

只有x方向速度

我们记它的速度是v2

它的速度v3

都是x方向

于是由动量守恒

mv0等于mv2加上mv3

所以怎么样呢

就是v2+v3就等于v0

就等于2倍的vc星号

这是我们先应用动量守恒

计算的一些结果

下面应用角动量守恒

我们来看

怎么样应用角动量守恒

我们看第一种方法

第一种方法

选地面为参考系

通常我们选的惯性系

地面惯性系

第一个

我既然应用角动量守恒

先要讨论对哪点来说

第一个办法我选对跟2

第二个小球重合的

地面上的点

来讨论角动量守恒

所以我这个点

相对地面是固定不动的

因此可以应用角动量守恒

那么这样的话

我第一个办法是直接计算

碰之前和碰之后

对这个点

应该是角动量守恒

对吧

碰之前它只有这个小球运动

它的速度通过这个点

所以碰之前的角动量是零

碰之后它的速度是静止了

是零是静止不动了

它是v2运动

v2也通过这点

所以它两个的动量都是零

因此

碰之后

只有这个小球

对这点有角动量

现在我假设它的速度是v3

于是它对这点角动量

这个距离是2b

这个长度是b

这距离是2b

它对它的角动量

就等于它的动量

mv3乘以2b

然后我现在

选这个方向为正方向

也就是它是负的

就是负的2b乘以mv3

于是我们就得到

v3等于零

我们前边又说过

由动量守恒v2+v3等于v0

它是零了

于是v2就等于v0

这样的话

我就知道了它的速度

碰之后它的速度是v0

它的速度是零

这样的话

我们就看到

碰之后这点不动

这点以v0运动

就相当于

这杆绕着这点做一个转动

对吧做一个定轴转动

因此我们这一点的速度

就应该是等于角速度

乘以这个距离

所以这个v2

应该等于ω乘以2b

v2等于v0

于是就得到了ω等于2b分之v0

这是我们直接计算角动量

我们现在

利用类柯尼希定理

来计算角动量

取2 3作为一个子系统

用类柯尼希定理

来计算2 3的角动量

还是对这一点来说

那么我们来看

因为要用类柯尼希定理

所以必须求出

这个子系统对质心的角动量

也就是本征角动量

大家看

在这个系统里面

选质心来讨论的话

那么这个2 3

绕着质心以ω转动

那么它的速度就是ω乘b

它的速度也是ω乘b

于是这个小球对它的角动量

就是ωb再乘以它的质量

再乘b

所以就是mb方ω

同样它也是mb方ω

所以这两个

总起来对质心的角动量

就是2mb方ω

这样的话我们计算出来

对质心的角动量

也就是本征角动量是这个结果

于是下面

我们就可以列方程了

对于这个跟它重合这点

我们知道开始的角动量是零

碰之后

第一个小球的角动量也是零

然后再加上

2 3小球它的角动量

对谁的角动量呢

对这点角动量

对这点角动量

由类柯尼希定理

等于谁呢

等于它本征角动量

对于质心的本征角动量

再加上质心大质点

对这点的角动量

这个刚才我们已经算出来了

本征角动量算出来了

就是2mb方ω

那么质心大质点的角动量是多少呢

质心大质点的速度

刚才知道了

vc星号是二分之v0

它的质量是多少呢

它的质量是2m

就是2m乘以vc是它的动量

再乘以距离是b

就是它的角动量

所以就是2mvc星号乘以b

把这个vc星号等于二分之v0代进去

就等于是mv0b

但是它的角动量的方向

跟我正方向相反

所以前边有一个负号

于是它减它等于零

就把ω算出来了

仍然是这个结果

大家看

这么计算时候

我直接就把ω求出来了

不像这个办法

先要求出v2 v3

然后再讨论绕谁转

那么这个办法

应该说还算比较好的

下面有一个思考问题

我们刚才强调

是跟2点重合的地面上点

来应用角动量定理

那么如果直接选对第二个质点

来应用角动量定理

是什么样呢

我们来看一下

选2点为原点的

平动参考系S′系

才能够应用

对定点的角动量定理

你选2点作为平动的非参考系

那么就出现了

惯性力的问题

也出现了惯性力矩的问题

这是第一方面

此外

你选了2′点作为参考系

那么你整个的这些个参量

就是角动量的参量

速度参量等等

都要发生变化

我们一会儿有个例子

可以给大家看一下

换了参考系之后

要做什么样的一些参量的改变

我们刚才选的是

与2点重合的地面上点

来应用角动量定理

现在换一个

与c星号

就是2 3两点的质心

相重合的地面点

来应用角动量守恒

这样的话

对c星号

来应用角动量守恒的时候

那么入射的第一个质点

它的初始的角动量就不是零了

是动量乘以它的距离

就是mv0乘以b

现在我们利用

类柯尼希定理来计算

因为这个方法比较简单

于是计算2 3角动量

就用它的类柯尼希定理来计算

于是就等于

2 3的质心系中的角动量

对质心的角动量Lc星号′

加上质心大质点的角动量

现在我选c星号这一点

作为固定点

就是与c星号重合的点

作为固定点

因此质心大质点

它的角动量就是零

所以第二项是零

于是就等于质心系中的

本征的角动量

于是我们直接就得到结果了

这就是选与c星号重合的

地面上点

来应用角动量守恒的时候

得到的结果

大家看

这样就简单的多了

还可以选其他的固定点

我们就不再讨论了

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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