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Video课程教案、知识点、字幕

我们再看

动能定理

机械能定理的应用

首先还是回顾一下原理

对于质点系的动能定理

就是所有力做的功的和

等于质点系动能的增量

这是质点系的动能定理

机械能定理

外力做功

加上非保守力做功

等于质点系机械能的增量

这是机械能定理

然后机械能守恒

如果在一段时间内

外力的功总是零

非保守内力做的功总是零

于是系统的机械能就守恒

机械能等于动能加势能

在刚体问题里面

势能主要是重力势能

重力势能

我取坐标原点为零点

于是如果是取向上为正的话

那么重力势能就等于质点系

也就是刚体

它总得重力放在质心上

所具有的重力势能

就是Mgyc

在讨论具体的应用之前

我们先证明一个结论

同一个刚体上外力做功

可以用力矩来计算

刚体上质元mi

受到的外力

假如是Fi的话

这个Fi的元功

就等于Fi点上

这个质元它的位移

那么这个点积可以写成

外力的切向力

乘以这个质元走的路程ds

因为质元做的是圆周运动

所以ds等于ξi乘以dϕξ

i就是这个质元到轴的距离

切向力乘以质元到轴的距离

就是这个外力

对这个轴的力矩

所以可以写成

Fi作用的质点Mi

它所受的外力

对于z轴的力矩Miz乘以dϕ

就是它所做的元功

所以本来是Fi做的元功

现在可以用

它的力矩来计算

这样的话

我们这个各外力的元功和

就是所有外力做的总功

就等于谁呢

等于所有外力对z轴的矩

乘以dφ

因为定轴转动刚体有一个共同的

角位移

所有的外力的元功

就等于所有外力

对z轴之矩乘以角位移

因此

我们做的总功

就可以等于元功之和

都可以用力矩来计算

那么功率应该等于dwdt

dw除以dt

dϕ除dt就是角速度

所以等于力矩乘以角速度

这样的话我们就看到

同一个刚体

外力做的功

可以用力矩来计算

本质上仍然是力的功

但是我现在可以用力矩来计算

为什么

就因为刚体的性质

刚体有一个整体的转动

那么每个质元都做圆周运动

所以才可以把它力做的功

转化成力矩来计算

我们来应用一下这个定理

现在一个均匀的细杆

从水平静止下摆

就是在它的端点装一个轴

它是绕这个z轴转动

定轴转动

它从水平静止下摆

不计摩擦

让你求一下

当它转下的角度是ϕ的时候

它的角速度是多少

均匀细杆它的转动惯量是

三分之一ml平方

我们现在对m应用动能定理

动能定理就是

对它所有力做的功

等于它动能的增量

现在对它能做功的力就是重力

因为轴上力是不做功的

所以就是重力做功

重力做功它的力矩

就是我现在在ϕ角时候

它重力的力矩

等于重力的合力在质心上

对这点的矩

所以它等于mg二分之l乘以cosϕ

这就是力矩

于是它从这儿转到这儿

力矩做的功就是乘以dϕ

从零到ϕ做的功

等于它末态的动能

减去初态动能

末态动能就是二分之Iω平方

初态功能是零

于是就把角速度算出来了

角速度等于这个结果

我们现在用力矩来算

先要把力矩算出来

然后再对力矩进行积分来计算

其实对于重力来说做功

我直接计算

其实更简单

我们现在绕个圈子

不过是验证了

外力对刚体做功

可以用力矩来计算

这是我们应用动能定理

它需要做积分

我们现在不用动能定理了

我们以地杆做系统

于是这个重力

变成了保守内力

于是机械能守恒

利用机械能来讨论

我取水平的时候

为重力势能零点

于是利用机械能

初态的时候动能是零

势能是零

等于末态的时候

是动能是二分之Iω平方

势能是负的二分之mgl sinϕ

于是一步就可以把它求出来

所以用机械能守恒

就比起用动能定理要简单

再看一个例子

这个例子这是一个滑轮

滑轮上绕着绳子

不计绳子质量

这绳子的一端挂着一个重物m

然后这个m我先拿手托着它

一松手这个m从静止下降

下降了h

求下降h的这个时候

它的速度v是多少

我们现在用机械能守恒

把m 滑轮绳子地看作系统

于是没有外力做功

没有非保守内力做功

所以机械能守恒

我们选这点

作为坐标系的零点

于是这点所对应的势能就是零

所以建立了坐标

就确定了重力势能

于是开始的时候

对大M它的动能是零

它的势能也是零

然后小m它的动能是零

它的势能是负的mgH

这是滑轮的机械能

这是小m的机械能

等于末态

末态大M它的动能

是二分之Iω平方

它的势能仍然是零

而这个小m它的动能

是二分之mv方

这是它的重力势能

于是直接就可以把v求出来

v就等于这个结果

这样的话我们机械能守恒一步

就把这个问题解决了

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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