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下面我们讨论

史瓦西场的时空

我们虽然建立了

固有时和坐标时

固有长度跟坐标长度之间的关系

但是还没有最后的得到结果

因为什么呢

我们这个关系里面用的是v

是它的关系都是跟

S0系的速度v有关

我们真正的关系

要和我的坐标距离有关系

所以我们还先要进一步的讨论

讨论什么呢

讨论S0系运动到r处的时候

它的速度是v

那么v跟r有什么关系呢

我们来讨论一下

我们首先

用牛顿力学来近似

所谓牛顿力学近似

就是把时空看作平直

这r是一个

r处到原点的实际距离

这里头没有什么坐标距离

坐标距离就是实际距离

这是我们牛顿力学近似的时候

我就等于近似的这两个问题

S0为质量为m的质点

就是我这个局惯系

是一个质量为m的质点

它自由落下

所以它就是局惯系

既然它是质量为m的质点

那么在引力场里自由落下的时候

它的机械能守恒

于是就得到了

mv方/2动能加上引力势能

负的GMm/r

应该等于零

因为它是从无穷远处

自由落下的

所以它的机械能应该是零

于是

立刻就得到了v和r的关系

v方等于2GM/r

于是v就等于根号下2GM/r

广义相对论引力场里面

牛顿是一个近似处理方法

严格结果应该如何呢

非常巧合

广义相对论里面

用严格的史瓦西解来讨论

那么v和r的关系

仍然是这个结果

所以这个结果

虽然是从牛顿理论推导出来的

它可以适合我们整个的史瓦西场

各种情况都适用

所以这是一个普遍的结果

于是

我们这个关系式就有了

就固有时和坐标时

固有长度跟坐标长度的关系都有了

于是就得到了史瓦西场的时空

它的基本性质

那么于是我的这个

固有时和坐标时

就是这个关系

根号下1-2GM/c方r

dr′真实的长度

引力方向的长度

等于根号下1-2GM/c方r分之一dr

这是坐标长度

那么横向的真实长度

等于坐标长度

这个就是我们史瓦西场的

真实的时空

它是跟什么呢

它是跟坐标时 坐标长度

之间的关系都有了

这是我们史瓦西场的时空

我们来看一下

引力场的强弱

体现在哪儿呢

体现在无量纲量

GM/c方r上

这么一个引力场

我在哪个地方引力强度最大呢

一个均匀的球对称的球体

在它表面上

引力的场强最大

所以这个值

在星体表面上是它的最大值

我们来看一下

这个最大值大概是多大

多大呢

像月球计算出来

这个值是10的负10次方

像地球是10的负9次方

太阳也不过才10的负6次方

最密的星体中子星

10的负1次方

所以我们看到

一般的星体

像我们一般的星球

甚至包括白矮星

它的这个引力场的场强

都是相当的弱

这一项的因为都非常小

像这种情况

一般都可以忽略不计

所以除了中子星外

一般星体的引力场

都非常的弱

我们现在计算一个例子

从地球的地球表面到月球

看我的真实长度

引力场里的真实长度

和坐标长度之间的差是多少

求它这两个的差

因为我们既然是引力场

我们真实的长度

跟坐标长度就有了区别

我们看看

从地球表面到月球

这个差是多少

就知道

引力的影响有多大了

那么我们来计算一下

这是真实长度

真实长度

等于坐标长度乘以这系数

于是

把它从r地球表面

积分到月球

那么这个积分结果

因为这一项很小

所以可以把这个用一下近似公式

变到1+GM/c方r

对它来积分

对它积分

积分结果就是（r-R）

这就是坐标的距离

加上GM/c方Inr/R

就是地球表面到月球的距离

除以地球的半径

结果如何呢

我们现在这个距离

大概是3.8乘以10的8次方米

是月球到地球的坐标距离

那么代进去计算

这个差值

就是真实距离减去坐标距离

结果是GM/c方Inr/R

最后结果

是1.8乘以10的负2次方米

那么10的负2次方米是厘米

才是1.8厘米

所以差值除以原长

等于10的负10次方

可见这个引力的影响

非常非常小

史瓦西场的时空间隔

也就是我们所说的线元

那么线元是用

广义相对论来说

它要求或者是最基本的性质

要求什么呢

要求这个线元

时空间隔

应该是个坐标变换不变量

所以

我们在狭义相对论里面

把它看作洛伦兹不变量的时候

还去证明它

其实这完全没必要

为什么呢

在广义相对论里面

要求这个本身一定是

坐标变换不变量

这是我们广义相对论的

最基本的要求

那么由狭义相对论

局静惯系S′系

它的线元

因为它是局静惯系

所以它在狭义相对论里面

它的线元ds′的平方

就等于c方dt′平方

减去dx′平方加上dy′平方

加上dz′平方

这是狭义相对论的线元的关系式

我们又说了

由爱因斯坦的假设

局静惯系的时空

跟引力场在这点处的时空

是完全一致的

所以引力场里面

这个地方的r处的线元的平方

就等于c方dτ方

把S′系的时间

换成了S系的固有时

把S′系的引力方向的长度

换成S参照系里面固有长度

那么这个是相同的

因为dy′平方+dz′平方

指的是垂直于运动方向的

长度的平方

在球坐标系里

垂直于运动方向的长度平方是它

这两个是相等的

于是

这个就是我们在S参照系里面

r处的线元

所谓线元

就是它的整个史瓦西场的

最基本的性质

就体现在线元里面

那么这是引力场里面r处的线元

这里边的线元

还用的是固有时和

径向的真实长度

我们把这个固有时

和真实长度

换成它的坐标时和坐标长度

就得到了

史瓦西场的最终的线元关系式

结果如何呢

大家看就这个结果

我用红的写出来

说明它非常重要

就是ds平方等于c方

（1-2GM/c方r）dt方

这是坐标时

然后是减去

括号里面1-2GM/c方r的负一次方

然后乘以dr方

再加上横向的没变

那么这个就是史瓦西场的线元

所谓的史瓦西求出来的解

就是把线元计算出来了

所以它计算出来的线元

跟我们现在用爱因斯坦的假设

以及狭义相对论的变换等等

结果得到的是完全相同的

如果S系中

没有引力是平直的

那么它的线元应该是这种形式

现在不一样了

有了引力场了

区别在哪儿呢

dt方前

就是这个前边

有了这个系数了

有了这个系数说明什么呢

说明时间弯曲了

在dr的前头

在这个前头

有了这个系数了

说明这个地方的空间弯曲了

所以

时间弯曲

空间弯曲

都体现在线元上

线元决定了这个空间的

黎曼空间的性质

所以线元是黎曼空间的

最重要的一个因素