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Video课程教案、知识点、字幕

第二

阻力系数球体阻力

我们刚才说低速情况下

阻力是跟速度成正比

高速情况下

阻力是跟速度平方成正比

那么低速高速如何划分呢

而且

如何从低速过渡到高速呢

这些问题

都需要做具体的研究

还有我们的阻力

是跟流体的性质

还有物体的运动速度等等

很多很多因素有关

因此能够严格的推导出

阻力公式来

是非常非常困难的

除了少数的个别情况之外

都是通过实验

来测定这些阻力

和这些因素的关系

那么

为了通过实验来进行测定

我们先引入什么呢

阻力系数

令流体阻力f等于谁呢

我们刚才有

阻力在高速情况下

它是ρv^2 S/2

那么现在

我前边乘以一个系数

所以令流体阻力

等于这个阻力系数cd

乘以这个关系式

这样的话

这个cd就是什么呢

是一个无量纲量

我们称之为阻力系数

于是阻力系数

就跟什么有关系呢

就跟我们前边讲过的雷诺数有关

因为雷诺数

决定了物体运动的时候

它的流体运动规律

所以它这个阻力系数

应该是个雷诺数的函数

这样的话

不同的形状的物体

不同的流体等等

它体现的流体阻力的不同

就通过它的这个无量纲的

阻力系数体现出来

所以做实验

就是研究这阻力系数

和雷诺数的关系

这就是我们说的

通过实验来得到的这样的

一个阻力的关系

做大量的实验研究这个关系

我们来看

这就是球和长圆柱的

一些阻力系数的实验数据

这个长圆柱是一个圆柱体

在它垂直于这个轴线方向运动

这个时候的阻力系数

那么这个雷诺数是0.1的时候

球的阻力系数是245

圆柱是58

然后这是雷诺数不同

于是球的阻力系数

跟圆柱阻力系数

就是这样的一些个实验的数值

所以就是如果你做一些个

比如说各种不同形状的物体

它的阻力系数

都可以通过查表得到

于是就可以这样的进行计算

这是我们说的一些个数值

实验数值

三

球的阻力系数

那么球是最简单的

也是最常见的一种物体

我们来看一下

它的实验情况

这是球的阻力系数的实验曲线

这个横坐标是雷诺数

纵坐标是它所对应的阻力系数

注意这是对数坐标

那么这是它的实验曲线

这是一条虚线

这个从这儿到这儿这条虚线

对应的是斯托克斯定律

所以大家看

它基本是条直线斜的

然后到这儿是变化的

到这儿基本是个常数

然后又有变化

就是这样一条实验曲线

我们分区间

给出它的近似关系

球体它的横截面积是πr^2

雷诺数是ρvd/η

它的雷诺数小于1的时候

这个阻力系数

是24除以雷诺数

代进来大家看到

正好就是我们前边

推导出来的重要的

斯托克斯公式6πηrv

所以在雷诺数小于1的时候

就是斯托克斯定律

或者斯托克斯公式

表达了它的阻力

1到500之间

那么阻力系数

是10/√Re

结果是这个结果

这是总的阻力

大家看在这个范围之内

500到2×10^5

这个雷诺数的范围之内

有个非常好的结果

阻力系数是一个常数

于是阻力

就等于0.22πρr^2 v^2

就是我们常说的

高速情况下的

跟v^2成正比

而且比例系数是一个常数

这个是

在这么大的一个范围内

是这么好的一个近似结果

所以这个是非常重要的

我们看小球在流体中

由静止开始下落

求它的收尾速度

我们分别在不同情况下

来讨论这小球下落

既可以是雨滴

也可以是冰雹

或者一些沙粒等等

它在流体中自由下落

我们主要讨论

是在空气里的下落

已知小球半径是r

密度是ρ0

流体的密度是ρ

ρ小于ρ0

所以它才能够下落

求它的这个收尾速度

已知流体的黏度是η

收尾速度

指的是物体受力平衡的时候

它的匀速运动时候的速度

也就是下落时候的

最大速度

物体所受的重力跟浮力之差

称为下沉力

那么下沉力等于阻力的时候

物体它的加速度就是零

这时候就是它的收尾速度

也就是最大的速度

我们用v_T来表示

第一种情况

雷诺数小于1

小于1的时候

我们用斯托克斯公式

于是这个就是下沉力

前边这个就是

小球它的重力

这个就是它的浮力

重力减去浮力

就是它的下沉力

这个就是它所受的

空气的阻力

那么于是就可以求出收尾速度

等于

2(ρ0-ρ)gr^2/9η

在密立根的油滴实验里面

已知的是黏度η、ρ、ρ0

通过测量

测量谁呢

测量的是油滴的收尾速度

来得到什么呢

得到的是油滴的半径

所以密立根实验里面

是由收尾速度

倒推出油滴的半径

因为油滴半径是很难测量的

那么有了这收尾速度

就可以求出

对应收尾速度的什么呢

雷诺数

也就是下落过程中

最大的雷诺数

那么我们看

第一个例子

小雨滴下落

雨滴从高度是2000米地方下落

如果没有空气阻力的话

雨滴落在地面的速度

将是200米每秒

速度非常的快

每秒200米非常快

这是它直接下落

我们来看空气的η

等于1.71×10^-5

帕斯卡秒

这是它的质量密度

忽略空气的浮力

也就是取ρ等于零

雨滴的质量密度

就是水的质量密度

那么下面我们计算一下

它的收尾速度

收尾速度忽略了浮力之后

在空气中的收尾速度就是这个

那么把这个结果

代到雷诺数里面去

于是雷诺数

就是1.91×10^13 r^3

就是它们都是雨滴的半径的函数

我这里面

这些公式要求谁呢

用了斯托克斯公式

要求是雷诺数要小于1

所以对半径有个限制

所以由雷诺数小于1

要求雨滴的半径

小于3.7×10^-5米

这是我们应用的范围

只有在这个范围应用

你这个推导的公式才对

现在取雨滴的半径是

3.0×10^-5米

这样的话

它对应的雷诺数是0.5

显然是符合我们的要求

雷诺数小于1

于是收尾速度

是0.11每秒米

大家看

这是考虑了空气粘滞性以后

雨滴的收尾速度

才是每秒0.11米

如果不考虑空气的粘滞性

它下降的速度将是每秒200米

这个差起来

简直是天壤之别

所以我们看到

虽然我们通常

把空气粘滞性认为很小

通常认为理想流体

但实际上

在这个问题里面它的粘滞性

绝对不能够忽略

它使得它的这个

收尾速度差别这么大

所以春天它的雨滴很小

那么雨滴落下来的收尾速度

非常小

就是似雾像风又像雨

就是这样的一个原因

第二看沙粒下落

沙尘暴的来源

强烈的大气对流

把地面上的沙粒卷到高空

卷到高空之后

它就开始自由下落

那么然后如果有水平气流的话

就把这沙粒带到了远处

我们来看一下

如果是考虑到

空气的粘滞性以后

那么沙粒的收尾速度多大

如果有了水平的气流

它可以把它带的多远

我们说这儿实现沙尘暴

它其实它的来源

它的源头可能相当远

就是这样被输送过来的

我们来看沙粒

沙粒它的质量密度是这么大

于是我们还是忽略了

空气的浮力

于是得到了收尾速度

跟r是这个关系

于是得到了雷诺数

跟r是这个关系

我们要求雷诺数小于1

所以沙粒的半径要小于这么大

这就是它的应用范围

我们现在计算一个小沙粒

这么大的一个小沙粒

它被空气卷到了高度是1000米

水平风速v0等于每秒20米

这是比较大的狂风了

那么它的收尾速度

是2.56×10^8 r^2

把这个r代进去

是0.057每秒米

这样的话水平气流携带它

可以漂移的水平距离是多少呢

就是它下落的所需要的时间

乘以它漂移的水平距离

结果漂移的水平距离

可以达到351公里

所以几百公里以外的

沙尘暴的源头

会由于沙粒的收尾速度很小

带到远处

所以我们如果发现了沙尘暴

你去看一看

你落下来的沙粒的大小

就可以判断谁呢

沙尘暴的源头离你的远近

沙粒越大说明离的越近

沙粒越小说明离的越远

我们再看

第二个区间

刚才讨论的是Re小于1

就是雷诺数小于1的情况

用的是斯托克斯公式

我们现在讨论一个高速的情况

就是雷诺数大于500

小于2×10^5

这个时候

它的总的阻力

就是0.22πρr^2 v^2

我们现在还是讨论雨滴

但是这个时候雨滴

就可以是大雨滴

或者是冰雹下落

还是忽略空气的阻力

这个时候就是

它的下落的重力

等于空气阻力

就是达到了什么呢

达到了它的收尾速度

于是就可以求出

它所对应的收尾速度

那么在空气的黏度情况下

那么我们来看一下

雨滴它的收尾速度是多少呢

215√r

于是对应的雷诺数

跟r是这个关系

于是我们由这个雷诺数的范围

找出来满足这个条件的

雨滴半径范围就是这个

这就是我们的应用范围

现在我们计算两个

一个是r=6×10^-4 米

它的收尾速度是每秒5.3米

还有一个呢

是r=3×10^-2 米

就是3厘米

这就比较大了

它的收尾速度每秒37米

这么大的就不是雨滴了

就是冰雹了

这么大的冰雹本身

就是质量比较大

然后收尾速度又很大

所以可以威胁到

人或者是一些动物

个头越大的冰雹收尾速度越大

破坏性也就越大

这样的话这部分就结束了

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

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-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

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-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

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-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

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-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

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-§5波动方程.波速

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

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-§3 相对论动力学基础

-习题

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-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

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Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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