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Video课程教案、知识点、字幕

下面我们说一下应变

固体有两种基本的应变形式

一个是线应变

一个是剪应变

我们下面讨论一下

如何来确定

它的线应变和剪应变

我们知道

固体内任意一点

如果因为形变或者运动

它这点会发生位移

这是固体内任意点P点

它初始位置是在这儿

它的矢径是r

然后通过形变或者是运动

它的末态位置是到了P′

于是它的位移

就是用ξ矢量来描述

所以我们现在就知道

固体内部任意一点

都有一个位移ξ

我们现在就要讨论

这个位移和形变

以及应变的关系

这个位移是矢量

它可以写成投影的形式

我们来看第一个

看线应变ε

均匀形变

我们看一个细长杆

原来长度是l

现在把它拉长到Δl

沿着x方向

那么这个Δl就是它的变形

那么这是它的原始长度

而这个变形是均匀的

就是各处的变形都相同

整个是均匀的

于是我们可以用它的比值

来描述这个应变

就是εx

就是x方向的应变

等于Δl除以l

这就是说如果它是均匀形变

可以用它的总的变形

除以它原来的长度

那么如果不是均匀的形变的话

会怎么讨论呢

我们在固体里面

找出一小段纵向的物质来

然后长度

它的长度是Δx

这个端点在x方向的位移是ξx(x)

这个是x处的

它的x方向的位移

这是x+Δx处的x方向的位移

于是我们看到

Δx的形变

就是这个位移减去这个位移

就是它的形变

那么它的形变去除以

它的原长Δx

就是它的平均变形

平均应变

我们取Δx趋于零的极限

它就是x处的应变

所以我们看到

x方向上的应变

就等于在这点处

它的x方向的位移对x的导数

偏ξx比偏x

那么也就是说线应变εx

是x方向的伸长率

或者是单位长度的伸长

这就是我们说的

x方向的应变

下面我们来看类似

y方向的线应变

εy等于偏ξy偏y

z方向上的线应变

εz等于偏ξz偏z

这样的话我们就看到

线应变就是它相应的

这个方向的位移的变化率

所以

应变是位移的空间变化率

我们再看剪应变

剪应变是形状的改变

以xy平面为例

矩形变成了平行四边形

大家看这是在xy平面上

我的一段固体

把它取作矩形

在这上进行

其实是一个长方体

它在这个方向上也有延伸

就各个方向都有延伸

是个长方体

那么它现在

在这个方向上有一个剪应力

什么方向的剪应力呢

是向这个方向的剪应力

我们写做什么呢

σtyx

因为剪应力

它首先要知道在哪个面上

所以第一个字母y

表示这个剪应力

所在的平面的法线方向

大家看

我指的是这个平面上的剪应力

这个平面的法线是y

所以它的平面的法线方向是y

然后再看第二个之x

说这个剪应力的方向沿着x

所以它在法线方向为y的平面上

指向x的一个剪应力

所以写作σtyx

这个上头有一个这个方向剪应力

向这边推它

在这个面上

大家看跟这个垂直的这个面上

它的法线方向这个面是x

所以它的力写作σtx

它的法线方向x

它的力的方向什么方向呢

是y方向

所以这个方向有个这样剪应力

这个方向有这样剪应力

两个一挤

就把它矩形变成了平行四边形

所以这两个剪应力

使它产生了xy平面上的形变

就是这个图形

那么这个形变我们看到

原来是矩形现在变成了

平行四边形

所以它的形状改变

我们用什么来描述呢

用这两个角度来描述

δ1 δ2来描述

用它来描述我这个

剪切引起的剪应变

我们再看δ1怎么计算

δ1我们讨论的时候

这要说明一下

我们讨论的整个形变

以及应力应变

都是在小变形的情况下

所以我们讨论都是小变形

在小变形情况下

δ1是个无穷小量

那么δ1如果是个无穷小量的话

δ1就约等于tanδ1

那么tanδ1等于谁呢

等于这一段长度除以这段长度

我们来分析一下

这段长度是什么

这段长度是A点

大家看原来是ABCD这个矩形

通过剪应变以后变成了

A′B′C′D′

所以这个长度

是B这点

在它的y方向的变形

大家看y方向的位移

B点y方向的位移

减去谁呢

减去A点y方向位移

所以B′B″是

x+Δx处的y方向位移

减去x处的y方向位移

这是这个长度

我们再看这个长度

这个长度约等于Δx

所以这个角度约等于tanδ1

就等于谁呢

等于x+Δx处的

y方向位移

减去x处的y方向位移

除以Δx

大家看就是我刚才说的

δ1约等于tanδ1

等于x+Δx处的

它的y方向位移

减去x处的y方向位移

这就是B′B″除以Δx

那么我们当Δx趋于零的时候

那么这个比值

就变成什么呢

变成了偏导数

就是偏ξy偏x

于是我们在Δx趋于零的时候

δ1就趋于偏ξy偏x

那么我们怎么描述刚才说的

xy上的剪切变形呢

或者剪应变呢

我们就用一个ετxy

这叫xy面上的剪应变来描述

它等于谁呢

它就等于在Δx趋于零

Δy趋于零的情况下的δ1+δ2

刚才我们说了

Δx趋于零的时候

δ1是偏ξy偏x

类似当Δy趋于零的时候

δ2趋于偏ξx偏y

于是我xy平面上的

这一点处的剪应变

ετxy就等于偏ξy偏x

加上偏ξx偏y

那么是谁引起的这个ετxy呢

我们刚才说

是由这两个剪应力

σtxy和σtyx引起的这个剪应变

我们还可以定义另外两个剪应变

在yz平面上剪应变

就等于偏ξy偏z加上偏ξz偏y

同样在zx平面上剪应变

等于偏ξx偏z加上偏ξz偏x

这样的话

我们就讨论了

剪应变和线应变

那么还有其他一些应变

都可以看作是剪应变

或者线应变的一些合成

我们来看体应变

均匀变形的时候

体应变就等于体积增量

除以体积

原来体积是V

现在体积增加了ΔV

于是它的体应变

就是ΔV除以V

这是均匀形变的时候

不均匀形变的时候

我们讨论一点处的体应变

在一点的附近

选一个小的长方体

微小的长方体

那么Δx Δy Δz

小形变以后

Δx变成了1加上εx乘以Δx

这就是因为它有个线应变

所以它伸长了

假如εx大于零的话它伸长了

同样

Δy变到了1加εy乘以Δy

Δz变成了1+εz

乘以Δz

这是原来的长方体

现在是变形之后的长方体

于是体积增加多少呢

就是这个的体积

减去这个的体积

那么这个的体积的增加就是

这个的体积减去这个体积

我们取一阶小

结果就是约等于

εx+εy+εz乘以ΔxΔyΔz

于是我们的体应变

就等于这个除以这个

把ΔxΔyΔz消掉

我们就得到了结果

体应变等于三个线应变之和

所以大家看

这体应变不是基本的

它是线应变的组合

那么同学要问了

说你有线应变还有剪应变

在体应变里怎么没有体现到

剪应变呢

我们说剪应变引起的体积变化

是高阶小

所以在这里面是忽略了

不影响上面的结果

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微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

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Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

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-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

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-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

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-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

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-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

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-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

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-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

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Ch9.广义相对论

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