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Video课程教案、知识点、字幕

三胡克定律

应力和应变的关系

注意我们讨论的是小变形

在小变形情况下

讨论应力跟应变的关系

1678年胡克首先提出

单向拉伸的时候

应力跟应变成正比

以后又提出了

广义的胡克定律

把这个推广到了

三维应力的情况

这是一个实验定律

对于各向同性的物体

线应力跟线应变之间

就有关系

剪应力跟剪应变之间有关系

那么我们就可以

单独的去讨论它们各自的影响

所以我们单独讨论

首先看

单一正应力引起的线应变

等截面直杆

直径是截面相同的一个直杆

它的拉伸是属于

单向应力状态

一会儿我们要说明

它只在轴向上有应力

只在轴向上有应力σx

那么其他的两个方向上没有应力

所以这叫单向应力状态

那么单向应力它引起了谁呢

引起了我轴向的线应变

规律就是线应变

和线应力成正比

就是εx等于σx除以Y

Y是杨氏模量

但是我在纵方向上有个伸长

在径向上是要收缩的

所以它对另外两个方向也有影响

在yz方向也有影响

但是影响它的应变

跟纵方向的应变正好相反

它是一个负的

而且有比例系数μ

μ是泊松比

所以εy等于εz等于负的μεx

所以我单方向的一个正应力

引起了这方向的一个正应变

正应变跟正应力成正比

然后在垂直方向上

也引起了线应变

线应变是负的

然后有一个比例系数μ

这个μ是泊松比

泊松比大于等于零

小于等于0.5

这是单向应力

那么三个应力都存在的情况下

结果如何呢

实验表明

三个应力都存在时候的应变

是三个应力单独存在时

引起的应变的线性叠加

这是在一定范围内

就是比例极限范围内

所以我们就得到这样的关系

我现在有σx σy σz

三个线应力都存在

那么x方向的线应变跟它成正比

同时这两个引起了它的减少

所以是σx减

μ(σy+σz)

然后除以杨氏模量

类似我y方向

z方向的线应变

都跟这三个应力有关系

换句话说

这三个应力

对三个方向的线应变都有贡献

对它自己方向的线应变

是正贡献

对其他两个方向的线应变

是负贡献

而且有比例系数

泊松比μ

这就是广义胡克定律

在广义胡克定律的情况下

我们就不能说

应变跟应力成正比了

只有在单向应力状态下

才能说应力跟应变成正比

这是我们说的

线应变跟线应力

服从广义胡克定律

在比例极限之内

下面说一下体应变与正应力

我们前边说

体应变等于三个线应变之和

我们还把它定义为σ0除以K

那么把这三个加起来

由刚才的广义胡克定律

我们可以写成这个形式

然后让它等于σ0除以K

σ0是什么呢

σ0称为平均应力

是三个应力和的三分之一

平均应力

把这个结果代进去

我们就可以求出K来了

K是等于Y除以3（1-2μ）

K称为体弹性模量

于是我们这个体应变

就等于平均应力

除以体弹性模量

由K大于零知道

μ一定小于等于0.5

这是我们说的

前边三个的应变和应力的关系

下面我们说一下

剪应变与剪应力

剪应变跟剪应力非常简单

正比的关系

剪应力等于剪应变乘以一个

剪切的弹性模量G

于是我们写的更仔细一些

σtxy等于σtyx

这是可以由平衡条件来证明的

就这两个剪应力是相等的

它跟xy平面的剪应变成正比

xy平面剪应变刚才我们说了

等于偏ξy偏x加上偏ξx偏y

前边再乘以一个剪切弹性模量

类似我们可以得到

同样的这两个剪切应力

和剪切应变的关系

这就是剪应变与剪应力

在各向同性的固体里面

只有两个独立的弹性模量

其中我们一般把杨氏模量

跟泊松比当做独立的参量

于是其他弹性模量

都是它们的函数

刚才已经推导出

K等于这个关系

它是Y和μ的函数

同样剪切弹性模量

由弹性理论可以证明

它跟Y跟μ

也有一个函数关系

我们看到

它是小于杨氏模量的

μ一般来说

在很多物质来看

差别不大

大约是0.35左右

这三个弹性模量

它的量级也差不多

都是10的10次方

到10的11次方帕斯卡

差别并不是太大

大家看部分材料的弹性模量

这是材料

这是铝

它的K是7.8

G是2.5

Y是6.8

μ是0.355

大家看这就是我们看到的

这样看大家看

μ除了个别的以外

差别并不太大

而这些个K G Y

也差别不是太大

最多差一个量级

大家注意这里边的单位什么单位呢

单位是10的10次方帕斯卡

所以这7.8

就是7.8乘以10的10次方帕斯卡

所以大家看

这些个不同的物质

或者是固体

它的这些弹性模量

其实差别并不太大

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微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

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-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

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--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

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-§4.刚体 (下)

-习题

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Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

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-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

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-§5流体阻力(上)

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Ch7. 振动和波

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-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

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-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

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-§5波动方程.波速

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

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-§8驻波

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

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-§3 相对论动力学基础

-习题

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-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

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Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

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