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Video课程教案、知识点、字幕

六

相对论能量与动量关系

牛顿力学

牛顿力学里的能量是机械能

它跟动量什么关系呢

就是机械能

等于动能加上势能

动能我们一般写成

m0v²/2的形式

它其实还可以写成动量的形式

就是P²/2m0的形式

那么这样的话

这就是牛顿力学里面机械能

和动量之间的关系

是这个关系

我如果在这个式子里面

把E换成一个对时间的微分算子

把P换成一个对空间的微分算子

那么这个方程就便成了

薛定谔方程

那么在相对论力学里面

能量和动量是这个关系

就是总能量的平方

等于P²c²

加上m0平方c的4次方

m0的平方c的4次方

就是静能的平方

所以总能的平方

等于P²c²加上静能的平方

这个式子很好得到证明

那么我们来看

P²c²+E0²

P是等于mv

所以P²c²等于(mvc)²

E0平方应该等于m0平方c的4次方

m0是跟m有这个关系

它等于是

（1-v²/c²）再乘以m²

这就是m0的平方跟这个的关系

那么这样的话

我们一看就可以把这项消掉

于是最后结果

就是m方c的4次方

于是就是E²

所以很容易得到这个关系式

这样的话

这就是能量动量

和静能之间的关系

这个关系呢

我们可以用一个直角三角形

形象的描述

直角三角形的斜边就是总能量

其中一个直角边

就是静能

一个直角边

就是P乘c

于是它的平方

等于它的平方加上它的平方

我们看相对论动能的另一个形式

动能等于总能减去静能

那么E-E0

等于E²减去E0²

再除以E+E0

那么E²-E0²

用咱们刚才的那个

动量能量关系式的话

它应该等于P²c²

所以应该是P²c²

除以E加上E0

E+E0等于mc²+m0c²

c²跟c²约掉了

所以最后结果

就是P²/(m+m0)

这就是相对论动能的另一个形式

就是动能等于

动量的平方

除以相对论质量

加上静质量

如果v小于小于c的时候

那么这一项m就约等于m0

等于是2倍的m0

于是

就是我们牛顿定律的形式

就是2倍的质量分之P方

这就是牛顿力学的

动能的形式

所以这是另一种形式

m0是洛伦兹变换不变量

所以E²-P²c²

也是洛伦兹变换不变量

取m0等于0

我们前边说的是

E²-P²c²等于E0²

那么m0等于零

E0的平方是零

所以就是E²=P²c²

于是P动量就等于E/c

所以静止质量为零的例子

它的动量等于能量除以c

能量是等于mc²

所以就等于质量乘以c

这样的话

动量等于质量乘以它的速度

因此静止质量为零的粒子

它的速度就是光速

我们又一次的说明了这一点

前边已经说明了一下

现在又一次说明了

在相对论中

常用动量P而不是用mv

我们前面已经说了

这个用这个很方便

因此

动量能量关系式就很重要

经常要用到

如果总能约等于E0

就是静能的话

我们称这个系统

是物质性的系统

常常可以忽略它的相对论效应

如果静能小于小于总能

那么E约等于Pc

那么这种情况下

称之为极端的相对论效应

绝对不能忽略

咱们把物质分成两类

一类称为物质性

一类称为相对论型的物质

所以这是不一样的

由这个式子

同样把能量换成一个

对于时间的微分算子

把动量换成一个

对空间的微分算子

那么这个方程

就得到了相对论的

量子力学方程

称为克莱因高登方程

这个方程就是

满足相对论的一个方程

不像薛定谔方程

薛定谔方程

是非相对论的方程

我们看一个例子

正负电子对撞

生成新粒子

已知正负电子的速率相同

动能都等于2.2GeV

求1

生成新粒子的静能

2

如果不是对撞

是让正电子

去碰一个静止的电子

那么仍然要产生新粒子的话

求它所需要的正电子的动能

已知电子的静能

等于0.51兆电子伏特

解

正负电子系统

它的守恒量是什么呢

第一个是动量守恒

第二个是能量守恒

因为它是孤立系统

我们设新粒子的质量

是大M

速度大V

动量是大P

于是由动量守恒

因为正负电子对撞的时候

它的动量大小相等

方向相反

所以它的总动量是零

因此

生成的新粒子

它的动量也是零

新粒子就是质量乘以V

那么等于零

于是

它的生成的新粒子的速度

是零

然后

这个质量就是静止质量

这是我们由

动量守恒得到的结果

由能量守恒

那么新粒子的静能

就是新粒子的总能量

因为它是新粒子是静止不动的

那么由能量守恒

新粒子的总能量

等于反应之前的

两个正负电子的总能量

正负电子的总能量

就等于它的静能加动能

我们看到

它的静能是0.51MeV

动能是2.2GeV

所以静能远远小于动能

所以这一项可以忽略不计

就是约等于2倍的动能

于是就等于4.4GeV

这是我们计算出来的

新粒子的静能

那么第二种情况

就是用正电子

去碰一个静止的负电子的话

那么正电子的动量是p1

这个电子的动量

是p2等于零

因为它静止不动

然后再看能量

能量的话

正电子的能量是E1

电子的能量是它的静能E0

于是由动量守恒

碰撞之后产生的

这个新粒子的动量

就等于它的质量乘以它的速度

就等于碰撞之前的

两个电子的动量之和

这一项是零

所以就等于P1

然后这个我们来看

由能量守恒

能量守恒碰撞之后总能量

新粒子总能量

等于两个电子的能量之和

那么这个电子是静能

所以等于E1+E0

我们知道碰撞前后

两种反应情况下

新粒子的静能是完全不变的

所以我们来看

要想形成新粒子

它一定要满足它的

静能的条件

所以这就是

新粒子的静能的平方

利用前边的

动量和能量关系式

就等于它的总能量

减去P²c²

它的总能量的平方

等于(E1+E0)的平方

它这个动量总动量

就等于p1

所以减去p1²c²

把这个乘出来展开

是这个结果

这个结果我们一看

这是E1²

减去p1²c²

正好又是一个

能量和动量的关系式

所以就等于E0²

加上2E1E0加上E0²

于是就可以写成这个形式

E1是等于E0+Ek

所以就等于2倍的E0+Ek

2倍E0也可以近似忽略掉

于是就等于2倍的E0乘以Ek

那么这就是

我所需要的正电子的动能

这就是

我形成的新粒子的静能

于是就可以算出来

Ek就等于M0c²的平方

除以2倍的E0

那么把这个代进去

最后结果

Ek等于1.9乘以10的4次方

GeV

这样的话我们看到

我们的静能

除以你的所需要的动能

等于2.3乘以10的负4次方

也就是说

真正产生新粒子

因为产生新粒子的标志

是有静能的

产生新粒子的能量

只是它动能的接近万分之一

那么剩下的动能

变成什么了呢

变成了新粒子的动能

于是

用正电子去碰静止的电子

绝大部分动能

变成新粒子的动能

产生新粒子的静能

只占万分之一

因此效率极低

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

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-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

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-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

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-§8驻波

-习题

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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