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Video课程教案、知识点、字幕

我们先讨论一下

重力矩的计算

质点系所受重力

对O点的矩

等于什么呢

等于把重力集中在

质心对O产生的力矩

这就是我们得到的结论

我们下面加以证明

一个质点系

第i个质点

它受到的重力是mig

这是重力加速度

它对O点的力矩等于

它的矢径叉上它

这里边大家注意

重力加速度是常数

于是就可以把它提出来

于是就是它求和

叉上它

这个求和我们知道

它等于谁呢

它等于总的质量

乘以质心的矢径

把这个m挪到这儿来

就等于矢径叉上Mg

Mg就是一个质点系

所受的总的重力

所以

它对重力系所受的重力矩

就等于

这个重力集中在质心上

对那点的矩

这样的话

就得到这个结果了

因为你是用rc叉上总的重力

这样的话我们就看到

这个质点系所受的重力

是存在合力的

这里我要说一下

什么是合力

不知道大家注意没有

我在前边讨论的时候

非常谨慎小心

我对一个质点我说过

一个质点所受的合力

这个没问题

因为它如果一个质点

受到了若干个力

可以直接把它们求和

称为合力

可是一谈到质点系的时候

我就非常谨慎了

我从不说质点系所受的合力

我只说

质点系所受力的矢量和

矢量和和合力

是完全不同的概念

那么

什么是一个质点系

所受的各个力的合力呢

合力的担子很重

它必须承担起

质点系所有力的所有效果

我们才能把它称为合力

什么效果呢

咱们冲量的效果不说了

因为是它取决于矢量和

重要的是两个

一个就是各个力

它的做功的总和

要由合力来担当

第二个所有力

对某个点的力矩的总和

要由合力来担当

它如果是合力必须能担当起来

担当不起来

就不能称之为合力

所以

在很多普遍情况下

一个质点系所受的力

是没有合力的

也就是换句话说

不可能有一个力

承担起这样沉重的一个任务

但是

重力可以

我们刚才说了

我们前边讨论的这个

重力对于质点系

重力矩等于

把和重力集中在质心上产生力矩

我们以前又讨论过

重力对质点系做功

等于合重力对质心做功

质点系它的重力势能

等于质心大质点的重力势能

所以

我们这样的话

质点系所受重力就有合力了

这个合力

是所有重力的矢量和

把作用点放在哪儿呢

放在质心上

就称之为合力

这个合力

它对重力矩作用是一样的

质点系所受的重力

对某点的矩

等于把这个力放在质心上

对这个点的矩

做功

质点系所受的重力做的功

等于把这个合力放在质心上

对质心做的功

所以

这样的话

它就真正有了合力了

所以

质点系所受重力存在合力

它的作用点就在质心上

我们又看到

重力系为什么会存在合力呢

就因为我刚才推导过程中

可以发现

就是它受的力

等于是m乘以g

也就是说

它受的这个重力

跟质量成正比

g是个常数

然后各个力的方向也相同

方向也平行或者相同

这样的话

这样的力就存在着合力

以后还有类似的这样的力

都存在合力

我们刚才讨论了

重力矩的计算

下面讨论

平动物体角动量的计算

平动物体对一个

某一点的角动量

怎么计算呢

等于把动量集中在质心上

它所对这个点的角动量

或者叫质心大质点的角动量

就相当于

把平动物体看作一个质点

这样的话我们来证明一下

平动物体上

各点速度相同都是v

这样的话

它对O点的角动量

就等于是ri叉上miv

v是常数提出来

于是写成这个形式

这个形式

又是Mrc叉上v

把M挪过来

就是rc叉上Mv

就是叉上它总的动量

所以平动物体

对O点的角动量

等于在质心大质点的

对O点的角动量

这就是它的计算

我们再讨论更普遍的情况

质点系对惯性系中

定点的角动量

等于什么呢

等于质心系里边

这个系统对质心的角动量

加上质心大质点

对这个定点的角动量

所以就是我对O点的角动量

在惯性系看

一个质点系对O点角动量

等于质心系里边

各个质点对质心的角动量

所以质心系我加一′

对质心角动量这加个c

这个指的是

质心系里边的这个质点

对质心的角动量

加上把所有质量放在质心上

形成一个质心大质点

质心大质点的动量

对这个O点的角动量

这就是它的计算

这个关系式类似柯尼希定理

所以称为类柯尼希定理

也就是说质点系

对惯性系中固定点O的角动量

等于质心系中的

质点系对于质心的角动量

这个角动量

跟其他的都没关系

是一个质点系特有的角动量

所以我们称之为固有的

和自转的角动量

或者叫本征角动量

加上质点系动量集中在质心上

对O的角动量

也就是质心大质点的角动量

这就是类柯尼希定理

刚才的3是4的特例

因为一个平动物体

我们在质心上

选一个作为参考系

这个参考系

相对这个物体来说是不动的

没有转动的

所以在这个参考系里面

没有质心角动量

也就是说没有自转角动量

或者本征角动量

于是惯性系看这个角动量

就等于质心大质点的角动量

所以3是4的特例

就是平动物体的角动量

等于谁呢

等于它把所有动量

集中在质心上的

质心大质点的角动量

这就是我们说的这个关系

证明

就证明刚才那普遍的结论

类柯尼希定理

对O点的总角动量

等于每个质点角动量的和

这个我们看

这是在惯性系里面

惯性系里面这是绝对矢径

等于相对矢径

加上质心矢径

这是质心系里边的

相对矢径加上质心的矢径

同样

这个绝对速度等于

质心系的相对速度

加上质心系的速度

这样的话一叉积

出来四项

这一项是在质心系的矢径

叉上质心系的动量

所以这一项出来

这是在质心系里面

质点对质心的角动量

就是这一项

然后再看这一项

这一项是质心的矢径

叉上总质量

乘以质心的速度

这就是刚才说的

质心大质点的角动量

再看这一项

这一项大家一看就知道

我们以前说过

这个质点系的一个重要特点

就是这一项是0

它是零动量系

所以这项没有

再看这一项

这一项我们又知道

这是由质心系的性质

这一项也是零

所以这一项也不存在

于是最后就得到了

质心系的里边

各个质点对质心的角动量

加上质心大质点的角动量

就等于惯性系里面

对O点的角动量

我们加以证明

这个类柯尼希定理

是非常重要的

是我们计算任意一个物体

一个质点系

对于某一个点的

角动量的一个重要方法

所以大家一定要把它熟记

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

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