当前课程知识点：力学 > Ch7. 振动和波 > §5波动方程.波速 > Video

返回《力学》慕课在线视频课程列表

Video在线视频

Video

下一节:Video

返回《力学》慕课在线视频列表

Video课程教案、知识点、字幕

第五节

波动方程波速

能量传输

波的周期频率

是波源决定的

波速v是由介质决定的

波动的形成是前后质点

运动的力学的联系

而产生的整体运动

那么波动方程

是波动介质它的质元所满足的

运动微分方程

首先先看

固体中弹性平面纵波

它的波动方程

首先讨论圆形直杆的纵波

直杆的横截面积是S

密度是ρ

取对称轴为z轴

取其中的一段

长度为Δz这段

质量是Δm

等于ρSΔz

作为我们的分析对象

横截面上是单向应力状态

我们曾经前边讨论过

那么

它只有σz正应力

在xy平面上正应力都是零

于是z方向的正应力

就等于杨氏模量

乘以z方向的应变

z方向应变

就是∂ξ/∂z

这是我们前边讨论过的

应力应变的关系

下面我们看这图

这是一个等截面的直杆

我其中取出一部分来

从z到z+dz这一小段

质量是Δm

作为我们的研究对象

那么沿着z方向

这小段的质量

乘以它质心的加速度

等于它所受的z方向的外力

那么这个力是正的

是z+Δz处的张力是正的

这个z处的张力是负的

张力是等于

横截面积乘以应力

所以就等于横截面积

乘以这处的应力

减去这个处的应力

它减它是一个应力的增量

应力的增量可以写作

应力对z的偏导数

乘以这个的长度

那么

当我Δz趋于零的时候

我这质心的位移

可以写成这个点的位移

于是把这个结果代进去

这个就是ρSΔz

ξ的二阶导数

等于S乘以∂σz/∂z

乘以Δz

把Δz约掉

把S约掉

就得到这样一个方程

ρ乘以ξ对时间的二阶导数

等于正应力对z的导数

那么把我们刚才胡克定律

应力和应变的关系代进来

于是就得到了这样的方程

就是把ρ除过去

这个变成ξ对z的二阶导数

然后前边这有一个杨氏模量

就是杨氏模量除以ρ

乘以ξ对空间的z的二阶导数

等于ξ对时间的二阶导数

这就是我们推导出来的

圆形截面直杆

它其中的纵波所满足的

波动方程

那么波速就是纵波的波速

我们用v∥来表示

就等于根号下Y除ρ

那么为什么它的波速

就等于波动方程前边的系数呢

我们以后再讨论

无限大弹性体中的纵波

咱们刚才讨论的

是一个等截面的直杆

我们大多数情况

是一个很大的一个

弹性介质中的纵波

我们现在讨论它

这种情况

和等截面直杆的情况

是不一样的

因为这么大的一个弹性介质

它里边不是个单向应力状态

沿z轴传播的平面纵波

我们现在讨论的是这种情况

所以它只有z方向的位移ξ

等于ξz

也就是说我们因为讨论的是

沿z轴传播的平面纵波

所以它的位移只有单方向的

取一个长方体

这长方体的长度是Δz

那么它整体是平面波

所以整体的z方向的位移

它没有其他方向的位移

因此对Δm z方向

我同样可以推导出

这个上头张力是这么大

这个面上张力这么大

所以我跟刚才推导一样

可以得到这个方程

就是ρ(∂²ξ/∂t²)

等于∂σz/∂z

就是跟刚才推导一样

得到这个方程

但是

因为这是个无限大的弹性体

它的应力状态

它的胡克定律

应力应变关系

都跟直杆情况不一样

所以下面的推导就出现了不同

那么我们来看由第六章第一节

三个方向上的应力

都有的情况下

我们这个广义胡克定律

是这样的关系

就是x方向的正应变

y方向正应变

z方向正应变

跟这些个应力呢

有这样一个广义的线性关系

从这三个式子里面

可以把σz解出来

σz就等于Y乘以εz加上

μ(εx+εy+εz)

除以(1-2μ)

然后整个再除以(1+μ)

现在因为是平面的简谐波

x y的应变都是零

所以这项是零

这项是零

于是就得到这个结果

所以对无限大的弹性介质里纵波

它的应力跟应变的关系

就不像单独直杆里

单向应力状态那个关系

是这样一个关系

虽然也是成正比

但是比例系数是不一样的

于是

我们推导出

它的这个微分方程

或者波动方程

它的前边系数

就是这样的一个

比较复杂的系数

那么这个系数的平方根

就是我们无限大弹性介质里

纵波的波速

所以它的纵波的波速

就是这个

这里我加了无限大

表示它是无限大介质里边的

纵波的波速

那么把刚才的圆形直杆的

纵波的波速代进来就发现

无限大介质里面的纵波的波速

跟我圆形截面直杆里面的纵波波速

有这个关系

所以它是不一样的

为什么不一样

就因为它的应力状态不一样

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:

© 柠檬大学-慕课导航课程版权归原始院校所有，
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引，不提供在线课程学习和视频，请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。