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Video课程教案、知识点、字幕

第四节刚体

我们前边从牛顿定律出发

建立起三个运动定理

为我们研究实际物体的运动

做好了准备

我们前边

主要研究的是质点运动

跟实际物体的运动

脱离比较大

下面我们就研究实际物体的运动，

以刚体为开始

刚体就是一种力学模型

就是可以忽略物体的变形

但是要考虑物体的大小和形状

这样的话

它是一个非常接近固体的一种

实际的模型。

那么我们在处理刚体的时候

要把它看作一个特殊的质点系

就是什么呢

它里边的一个质点

或者叫质元

互相之间

它的相对位置不发生变化

因此在同一个刚体里面

各个质元之间的内力

是不做功的

这就是它的特点

那么这个刚体

它有一个整体的运动

就是它的特点的体现

我们现在

就综合应用牛顿定律

和三个运动定理

来研究刚体运动问题

刚体它的问题比起质点力学来说

更丰富更多彩

但也更困难更复杂

首先刚体的运动

首先看一个刚体的最简单运动

定轴转动

刚体绕z轴转动

最好的坐标系是柱坐标系

柱坐标系好像就是为

刚体的定轴转动

量身打造的一个坐标系

那么刚体的整体运动

就是它绕着z轴的转动

我们知道柱坐标系的参量是ξϕz

那么刚体的位置

就由它的角坐标ϕ来确定

那么它的运动情况

就由角速度ω和角加速度α来描述

它们之间的微分关系

就是角速度等于ϕ一点

角加速度等于ω一点

等于ϕ两点

这样的话

我们就可以来计算

一些个转动的实际问题

比如说

已经知道角加速度

是个时间的函数

初始条件t等于0的时候

角坐标是ϕ0

角速度是ω0

求t时刻的角速度

和它的角坐标

我们由微分关系dω等于αdt

dϕ等于ωdt

用前边学的定积分的概念

就可以得到我们的解

角速度等于ω0加上

角加速度从0到t的积分

如果角加速度是常数的话

那么ω就等于ω0加上αt

类似我们ϕ就等于ϕ0加上ω

从0到t的定积分

如果α是常数的话

那么ϕ就等于ϕ0

加上ω0t加上二分之一αt方

角速度矢量和角加速度矢量

都沿着z轴在同一条直线上

因此整体的定轴转动是一维的

那么正方向是z轴的单位矢量z

那么ω和α作为投影

就有这样的关系

我们注意到ϕ ω α的关系

跟一维直线运动

x v a的关系相同

原因就因为

它们都是一维运动

它们的微分关系相同

我们刚才讨论的

是刚体的整体运动

现在我们要处理或者研究

刚体上任意一点的运动

也就是r处质元P的运动速度

和加速度

大家看这是一个刚体

绕着z轴做着定轴转动

P是刚体上的一个任意点

质元

它的坐标用r来表示

那么我们来看

P点的速度和加速度

我们注意到

在刚体整个的刚体

绕着z轴做定轴转动过程中

这个P做着一个

半径为ξ的平面圆周运动

因此它的速度就等于ω

这是ω矢量

叉上ξ矢量

就是叉这ξ矢量

一叉是这个方向

因为r矢量等于

这个矢量加上这个矢量

而这个矢量和ω方向相同

所以ω叉上r矢量

等于ω叉上这个矢量

再加上ω叉上ξ

它叉这个矢量是0

所以ω叉r就等于ω叉ξ

因此这个质元的运动速度

又可以写成ω叉r

它的速度写成ω叉r

它的加速度

应该是速度的导数

那么先对它求导

就是角加速度叉上r

再对它求导

就是ω叉vω

叉v又可以写成

负的ω平方 ξ矢量

这个又可以写成ξϕ两点ϕ

的单位矢量

那么这两个

分别是法向加速度

和切向加速度

法向加速度就是ω叉v

等于负的ω平方ξ矢量

切向加速度就是α叉r

所以一个

做定轴转动刚体上任意一点

它都做一个平面圆周运动

平面圆周运动中

有切向加速度

有法向加速度

分别用α叉r和ω叉v来表示

这是最基本的

一个刚体的运动，

就是绕这一个定轴转动

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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