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第二节

史瓦西场中的时间和空间

史瓦西场是史瓦西

解爱因斯坦场方程

所得到的一个解析解

是求对称分布的

静态物质

它外部的场

称之为史瓦西解

星球外部的场

都可以看作史瓦西场

首先我们来看一下

弯曲空间的概念

我们说

引力场使得空间弯曲

这就是爱因斯坦

引力几何化的一个结果

那么我们来看一下

弯曲时空和平直时空

有什么样的区别

有什么样的特点

所以先看一下

弯曲空间的概念

平直空间的几何

是欧几里得几何

在平直空间里面

测地线是直线

圆周率

和三角形的内角和都是π

这是平直空间

我们来看弯曲空间

弯曲空间的几何

是黎曼几何

代替直线的

是弯曲空间里面的

弯曲的测地线

三角形内角和不是π

那么圆周率也不是π

弯曲空间

就是测地线不是直线的空间

这就是弯曲空间

我们可以在三维空间里面

来观察直观的看

一维二维的弯曲空间

在欧几里得空间中

直线是一维的平直空间

曲线是一维的弯曲空间

平面是二维的平直空间

曲面是二维的弯曲空间

那么球面

就是二维的长曲率的

弯曲空间

所以这就是

平直空间和弯曲空间的不同

我们现在看一个具体的

球面上的几何

就是二维的

弯曲空间的几何

它的特点曲率是常数

处处曲率是常数

那么球面上的测地线

我们不是说

弯曲空间的测地线是弯的吗

我们可以具体看到

球面上测地线是什么样

什么是球面上的测地线呢

球面上的测地线

就是大圆曲线

什么是大圆曲线呢

我过这个球心

做一个平面一切

切出来是一个圆周

这个圆周就是大圆

也就是最大的圆周

所以大圆曲线

就是大圆上

大圆周上的两点之间

叫大圆曲线

所以这就是它的测地线

所以

球面上的测地线

就是一个大圆曲线

一个大圆的圆周

现在我用三条大圆曲线

建立一个

球面的三角形ABC

这就是三条大圆曲线

这一条大圆曲线

这一条大圆曲线

这一条大圆曲线

构成球面三角形

由球面三角形定理知道

球面三角形的

三个内角和是大于π的

我还可以在球面上

做一个圆周

怎么做圆周呢

我选一点P

以从P到Q

这个大圆的曲线

这个弧长作为半径

这就是我在球面上的半径

我做一个圆周

大家看

它做一个圆周

就是这样的一个圆周

那么这个圆周

我在欧几里得空间来看

它的半径实际上是小r

因为它是这样一个圆周

实际上是小r

在我的球面上看

它的半径是大R

那么球面上的圆周率

圆周率应该是

周长除以直径叫圆周率

那么我们从

欧几里德几何可以知道

这个的周长

等于这个的半径乘以2π

所以等于2πr

它的直径是这个的2倍

是2倍的大R

于是就小r除以大R乘以π

我们在图上直观可以看到

这个小r是小于大R的

因此

它的圆周率小于π

这就是我们看到的

弯曲空间里面的特点

它的圆周率不再是π了

它的三角形内角和

也不再是π了

它的测地线

不再是条直线了

而是一条曲线了

这就是我们看到的它的特点

那么我们再说一下

我们说

引力场里面空间是弯曲的

但是一般的引力场都非常弱

所以这个弯曲

它是很小的

也就是曲率半径非常大

比如说我们看地球

这是一个地球

地球假如空间不弯曲的话

它径向是一条直线

因为引力场

这条径向直线弯了

那么在地球表面上

这个径向线的

弯曲的曲率半径是多少呢

可以计算出来

它的曲率半径ρ

等于3.43×10的11次方

我们来看一下比较一下

地球的半径

是6.38乘以10的6次方米

它的量纲是10的6次方米

太阳的半径10的8次方米

这是它的量纲

它们这个曲率半径

比它们都大

日地的距离

量纲是10的11次方

所以

在地球表面上

径向的这条直线弯曲了

弯曲的曲率半径这么大

所以它完全可以近似为

平直的空间

近似为不弯曲

所以在研究星体运动的时候

我在太阳系里面

甚至在银河系里面

用平直空间来计算

它都是相当准确的

也就是说

它的近似都是可以的

换句话说

在这样大的范围内

在这样的引力场里面

那么空间的弯曲

是可以忽略不计的

但是

平直空间跟弯曲空间

有着本质的区别

什么区别呢

在有限的区域里面

所谓有限

就是体积是有限的

不是无穷大的

所以在有限的区域里面

平直的空间必然有界

比如说一条线段

这是一个平直空间

它有两个端点

端点就跟外界的界

一个平面

平面的边缘就是

你这个平直空间

跟外界的边界

所以

平直空间必有界

可是弯曲空间就不一样

常曲率的弯曲空间

像一个圆周，

大家看

整个一个圆周处处闭合

跟外界没有任何的交界

还有像球面

球面自己

就是一个完整的二维空间

跟外界也没有交界

所以

这样的常曲率弯曲空间

它的体积有限

但是它可以无界

没有边界

而且它可以处处都是中心

那么看

我一个线段

它的中心就在线段的中点上

一个圆形的平面

它的中心就在它的圆心上

可是大家看

假如是一个球面

我问你

球面的中心在哪儿呢

每一个点都是中心

所以

一个圆周是一个

一维的常曲率的空间

它也处处都是中心

一个球面

它是二维的常曲率的空间

它也是处处都是中心

这样的话

弯曲空间的概念

就可以解决

宇宙学的两大难题

我们以后再具体说明

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微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

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-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

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-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

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-§5流体阻力(上)

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Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

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-§4简谐波

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-§5波动方程.波速

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

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-§3 相对论动力学基础

-习题

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-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

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Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

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