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有了这一条以后

我们来定义保守内力

我们知道

按做功性质来分

一般情况下

我们曾经反复强调

一个力做功

是跟它的路径有关

所以我们积分的时候

特意加了角标l

表示是曲线积分 线积分

沿着曲线积分

可是有一类特殊的力

它做功跟路径无关

跟l无关

那么这一类力

我们称之为保守力

我们来看怎么定义

如果一对内力的合功

只取决于

这两个质点的始末位置

跟具体怎么到达始末位置无关

那么就称

这一对内力为保守内力

这是一种定义的方法

我们还可以有另一种等价的定义

刚才说

一对内力的合功与参考系无关

所以我们总可以

选取一个质点固定不动

在一个质点固定不动的参考系里面

那个质点做一个任意的圆周运动

如果在这圆周运动里面

力做的功为零

那么就说这对力是保守内力

我们下面来说明一下

这个两个定义是相同的

或者等价的

我们现在选取

大家看

m1 m2两个质点

我们选取一个参考系 m1不动

于是这对相互作用力的功

就是它对它的作用力的功

现在我们来证明

我随便找两个点

a点到b点

我证明从a到b

这个力做的功跟路径无关

于是我选任意一个闭合回路

通过a b两点

那么这个闭合回路上的积分等于谁呢

等于沿着这条曲线从a积到b

沿着Ⅰ曲线

然后再沿着Ⅱ曲线从b到a

也就是说

这个闭合回路

相当于Ⅰ曲线从a到b

加上Ⅱ曲线从b到a

刚才说

这个闭合曲线积分是零

所以这是零

于是从a到b沿着Ⅰ曲线的积分

就等于负的从b到aⅡ曲线积分

我们前面讲过

定积分的性质

如果你把上下限一倒

它正好差个负号

于是一倒过来

就等于正的a到bⅡ曲线的积分

也就是说

如果你沿着任意一个闭合回路

积分是零的话

那么从a到b

沿着任何一个曲线来积分

都相等

所以这两种定义是一致的

既然内力的合功与参考系无关

所以我们保守内力的定义

也跟参考系无关

你在这个参考系判定

它是保守内力

那么他在任何一个参考系看

都是保守内力

保守力概念的推广

我们刚才称为保守内力

主要指的是一对力

所以称为保守内力

但是我们还可以推广到

保守外力场和保守惯性力场

那么我们来看一下

保守外力场

这就是给大家介绍一下

大家知道有这么回事就可以了

一个质点系

它外部有场源

就是产生力的源

比如说引力源

电场源等等

那么它有外边的场源

于是质点系里边的质点

都受到外部场源的力

我们称为这个力叫外力场

我们利用质点系里边的质点

在运动过程中

它力的积分来判定

这个外力场是不是保守的

首先我们来选一个

外界场源相对静止的参考系

来讨论这个问题

在相对外界场源静止的参考系里面

看质点系里边的质点

在运动过程中

外场力做功的情况

我们让这质点

在一个闭合的曲线上运动

如果外场力做功是零的话

我们就称

这个外场是保守外力场

下面我们说一下

保守惯性力场

我现在采用一个非惯性系

于是质点系里边质点

都受到惯性力

就相当于有一个惯性力场

我们同样用第二种定义

可以来判断

这个惯性力场是不是保守的

那么如果在质点所受的惯性力

在一条曲线上

闭合曲线上运动

惯性力做功是零的话

那么就称这个惯性力场

为保守惯性力场

这就是我们推广这样两种情况

例如

以一个不变的加速度

来运动的小车

以小车作为参考系

那么质点受到的惯性力

就等于负的ma

加速度a是个常矢量

所以这个惯性力也是常矢量

我们下面会看到

常矢量的力 常力

它是一个保守力

所以在这个非惯性系里面

它的惯性力就是保守惯性力

这个力场

就是保守惯性力场

下面我们看一下

常见的保守力

都是什么样情况

第一个常力F

就是刚才说的

力是常力 常矢量

我们前面讨论了做功问题

如果力是常矢量的话

那么做功就等于力点上位移

你无论是经过什么样的曲线

从这点到达那点

那么最后的结果

力做的功

都是力点上从这点到那点的位移

跟你的路径无关

所以它是一个典型的保守力

比如说我们常见的

就是重力

在一个小范围内的重力场

它的重力加速度

是等于常矢量

于是重力就是常力

于是重力做功

就等于mg点上位移

像这种情况下

就是负的mg(yb-ya)

就是负的mgh

这就是常力做功

它是跟路径无关的

所以常力就是一个保守力

我们再看保守有心力

什么是有心力呢

就是力有一个力心

固定不动的力心

然后这个力又是径向的

这样的力

我们叫有心力

那么什么是保守有心力呢

就是这个力不但是径向的

而且它只跟力这个矢径的大小有关

这样的力

就是一个保守的有心力

所以首先它是有心力

其次它的大小

只跟矢径的大小有关

就叫保守有心力

这就是保守有心力刚才写的定义

我们来看一下

如果f(r)大于零

它就是斥力

f(r)小于零

它就是引力

我们怎么说明

这个保守有心力是个保守力呢

我们就来看一下这个点积

F·dr

F·dr等于多少呢

因为它是有心力

它有固定的力心

所以在这种情况下

最合适的坐标系

是球坐标系

大家看

这就是球坐标系

球坐标系

它的三个参量是rθφ

r就是矢径的长度

θ就是矢径和z轴的夹角

φ就是把这点投影到xy平面上

这条投影线和x轴夹角是φ角

跟我们平面极坐标

和球坐标的φ意思一样，

这里就多了一个θ参量

这是球坐标系

球坐标系一个长度

两个角度

就把这个位置决定了

它是三个参量

那么最重要的

我们要说明它的三个单位矢量

一个是跟这个参量相联系的

是径向的矢量r

一个是跟φ角联系的单位矢量

就是垂直这面

跟那面垂直的

还有一个

就是跟θ联系的

就是这个矢量

如果我们把z轴

当做地球的南北轴的话

那么这条线就相当于经线

这条线一条线绕着一圈的线

相当于纬线

那么θ这个单位矢量

就沿着经线的这切线

这个φ的单位矢量

就沿着纬线的切线

所以这三个单位矢量

互相垂直

所以它仍然是一个

正交的三维的坐标系

当然也是一个转动的参照系

这是它的三个单位矢量

下面我们来看一下

你不是F·dr嘛

dr称为这个球坐标系的线元

这个线元

可以简化成几个矢量的和呢

我们现在从这儿出发

大家看

这是r θ

这是φ

就从这点出发

然后到达哪点呢

到达这点

这点r增加了dr

φ增加了dφ

大家看这是dφ

θ增加了dθ

所以r θ φ都增加了

从这点到这点

从这点到这点

dr就是它的线元

我们看这个矢量

可以由三个矢量合成

一个矢量大家看

是沿着纬线

纬度方向的

沿着纬度方向的

从这儿过来

它的长度等于多少呢

它的长度等于这个半径

乘以这个的夹角dφ

这个的长度是r乘以sinφ

所以这个矢量就是这一项

rsin θdφ

它的方向是φ

单位矢量所以是这个

然后再沿着经度方向

有一个矢量

经度方向矢量的大小

等于r乘以dθ

然后它的方向是θ方向

所以就是这一项

这一项就是这个矢量

第三个矢量是沿着径向

向外

就是它的长度是dr

方向是r

所以就是这一项

所以这个线元

就可以分解成

纬度线

经度线和经线

这三个方向的分量的和

它可以分解成这三个分量

那么我们拿F

F是个保守有心力

它可以写成这个形式

拿这个形式去点积线元

有点积的性质

它等于这个点这个

加上这个点这个

加上这个点这个

这一项分别跟它们垂直

点积之后都是零

所以最后只剩下f(r)dr

所以

我们的积分是F·dr

这是个线积分

但是在这种保守的

有心力情况下

最后变成f(r)dr

一个普通的标量积分

普通标量积分

当然与路径无关

所以最后我们发现

这种保守有心力

它确实是保守的

比如我们看地,m系统

我一个地球

和上边的一个小的质点

这个系统

选地心为O点 原点

当然地心是可以看作不动

于是m受的力

就是这个万有引力

于是F·dr

这个从ra到rb的积分

就是变成了f(r)dr

这个f是谁呢

就是除了这单位矢量之后

所有这些项就构成了f

就是负的Gm

带着加号的这个标志

是天文学里面

地球的标志

所以地球参量都用这个

所以这是地球质量

这是小的m

然后里边积分是谁呢

r方分之一的积分

r方分之一的积分

是负的r分之一

所以最后解出来

是这个结果

它就显然是跟路径无关的

只取决于你的ra rb

我们再看弹性力

也可以看作什么呢

也可以看作一个有心力

那么它的情况

是选原长作为原点

于是它在x处所受的弹性力

就是负的kxx

于是它的积分

从a到b的积分

就是负的kxdx

这个积分结果就是这个结果

所以弹性力

也是一个保守力

可以看作保守有心力

其他的保守有心力

还有静电场力等等

我们就不再说了

这里要说明

广义的有心力

不一定是保守力

广义有心力是什么样呢

首先也有力心

也是沿着径向

大家看这个地方不一样

保守有心力

这里边是一个矢径的大小

这个是矢径

我们注意

保守有心力的这函数

跟这个函数区别在哪儿

这个函数

它只是矢径大小的函数

这个函数大家注意里边是矢量

它不但跟矢径大小有关

还跟θφ有关

所以这个跟这个是有区别的

在一般情况下

这种广义有心力

不一定是保守的

比如说我们来看

这个有心力

首先它是径向的

从力心出发的

所以它是有心力

但是它跟θ有关系了

这是矢径大小的函数

这是θ

这个就是广义有心力

我们可以说明它不是保守力

怎么说明呢

大家看

我在空间里头

一条闭合曲线上

让这个力做积分

看它是不是零

它是零就是保守力

不是零就不是保守力

我们看是零不是零

我现在选择一个特殊的

一个闭合曲线

从这儿开始

用这个做半径

画一个圆周到这儿

这是一条射线

这个的角度是θ0

然后沿着射线到达B点

然后又画一条圆周曲线

到达这点

然后再沿着这个

竖直的y轴回到这一点

大家看这就是一个闭合的回路

这是圆周

圆周是跟径向垂直的

所以在两个圆周上的积分都是零

因为它跟力是垂直的

那么它只有在这个上头有积分

这个上头有积分

可是这个地方大家注意

y轴上这θ角是π/2

所以在y轴上这个是零

所以大家看

我选了这个闭合曲线积分

只剩下哪儿呢

只剩下从这儿到这儿的积分

从这儿到这儿的积分

大家一看就知道

绝对不会是零

所以

它在闭合曲线上积分不是零

说明这个

就是非保守力