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Video课程教案、知识点、字幕

下面我们要讨论

矢量的微积分

我们现在要加以说明

矢量的微积分

跟标量的微积分

从定义概念运算法则上

完全相同

只不过我们前面讨论的微积分

那个函数都是标量函数

而这里面的函数

是个矢量函数

就是它本身是个矢量

当然它的自变量不是矢量

它是一个矢量函数

区别在这里面

所以它的定义

运算法则

运算规则都相同

本来我们这么一说就可以了

因为它的运算规则相同

但是为了大家以后应用的

可靠性

我们还把这些关系式

给大家写出来

看一看这些矢量的微积分

它的形式什么样

所以我们主要是看一看

直观地看一看它的形式

关键你跟我标量的微积分比较

看到它们的相同之处

不同之处就一个是标量

一个是矢量

矢量微积分

我们写出下面这样的关系式

这样的关系式直接计算很少

因为我们没有矢量的

微积分的计算公式

我们真正的矢量的微积分计算

都要化成它的解析形式

来进行计算

所以最后的计算

还是标量的微积分完成

好

下面看矢量的导数

矢量函数

这是矢量f

矢量f是个t的函数

关键这个函数本身是矢量

它的自变量还是个标量

导数定义

就是它平均变化率的极值

函数的平均变化率

就是函数的增量除以Δt

然后取极值

但是注意这里是矢量

所以它的减法

是用三角形法则进行的

我们从这里也可以看到

如果不定义矢量的加减法

是不可能去求它的导数的

这个f对t的导数

写作f一点

那么我们也可以写作这个微分

df就是矢量函数f的微分

那么就是df就等于f一点乘dt

所以矢量函数f的微分

就等于f一点dt

所以大家可以看

跟标量函数的概念完全一样

类似可以定义矢量函数的

高阶导数

比如说矢径的二阶导数

可以写成r两点

矢量函数的导数

仍然还是矢量

原因是什么呢

矢量函数的导数大家看

就是矢量的增量

矢量的增量还是矢量

除以Δt

Δt是个标量

我们知道矢量除以标量

还是矢量

取极值还是矢量

所以矢量的导数

仍然是矢量

我们知道

速度是矢径的导数

所以速度就是矢量

所以我们可以通过求导

得到一些新的矢量

矢径导数的几何意义

大家看这个选了原点

那么这个矢径

由它的端点

表示的一个空间点

端点随着时间变化

于是矢径端点

就形成一条有向曲线

这曲线的方向

就是时间增加

矢径的端点变化的方向

那么t时刻矢径端点在这儿

t加Δt时刻矢径端点在这儿

这是t时刻的矢径

这是t加Δt时刻的矢径

那么这条连线

我们把它连起来的话

就是矢径的增量就是Δr

也就是这个Δr

那么随着我用Δt

让它趋于0

取Δr除以Δt的极限

那么这个点无限靠近它

于是Δr的方向

就变成了这点的切线方向

于是这个r对t的导数

就变成了这个方向上的

一个切矢量

所以矢径函数

它的导数的几何意义

就是t时刻

在取它的端点曲线上这点的

切矢量

那么单位切矢量

就等于切矢量

除以切矢量的大小

切矢量

单位切矢量

常常用t加个尖帽来表示

这表示是个单位的切矢量

矢量函数的偏导数

我们常常有许多矢量

是多元函数

多元函数的导数

就是偏导数

我们看这是一个矢量函数f

它是xyz三元函数的

三个自变量的函数

于是我们可以分别定义

它对x的偏导数

对y的偏导数

对z的偏导数

跟标量函数一样

我们在对x取偏导数的时候

计算取偏导数的时候

把yz看做常数

同样对y的偏导数的时候

取xz是常数

于是我们可以定义

矢量函数的偏导数

跟标量函数的概念完全一样

矢量函数的微分

刚才我们写的微分是一元函数

现在是一个多元函数的微分

我们看仍然跟标量函数一样

这个矢量函数多元函数的微分

可以分别表示出

它由于x引起的微分

加上由y引起的微分

加上由z引起的微分

由x变化引起的微分

就是∂f/∂x dx

由y引起的这个微分

就是∂f/∂y dy

然后同样是这个结果

所以一个多元函数的微分

也是它增量的线性主部

可以分别写成

三个偏导数乘积之和

所以跟我们标量函数的全微分

是完全一样的

矢量导数的运算法则

我现在有一个矢量函数α

是t的函数

β也是t的函数

还有一个标量函数Φ

也是t的函数

c是个矢量

但是是个常矢量

就是它的大小方向都不变

是个常矢量

k是个常数

就是一个实数

我们看这些函数的运算

有什么样的规则

首先

我们在前边讨论微积分

标量微积分的时候

常数的微分导数是0

同样

一个常矢量的导数也是0

一个常数乘一个矢量函数的导数

可以把常量提出来

一个常矢量乘一个标量函数

它的导数

也可以把常矢量提出来

两个矢量函数相加的导数

等于两个矢量导数相加

一个标量函数

乘一个矢量函数的导数

等于先对标量函数求导

乘以矢量函数

然后再拿标量函数

乘以矢量函数的导数

注意我们这里边

一定是标量函数乘以矢量函数

这才有意义

如果是两个都是矢量函数

那它的意义就完全不同了

我们现在还没学习

所以这是标量函数乘以矢量函数

再看

两个矢量点积的导数

这是α点上β求导

等于α的导数点上β

再加上β导数点上α

再看叉积

α×β的导数

等于α导数×β

注意这个可以交换位置

叉积可不能交换

下一个是α×β的导数

所以它的顺序是不能交换的

这个先对α求导×β

再加上β求导×它

但一定是α×它

这顺序不能颠倒

复合函数微分法

f是个矢量 df/dt

等于df对一个中间变量求导

中间变量再对t求导

所以完全一样

下面我们看一下

有一个矢量函数A

求A^2的导数

这个计算

我们可以有两个计算方法

我们知道

A^2本身是个标量对吧

标量对t求导

可以先对A求导

对A求导是2A

然后A再对t求导

所以是2A乘以A对t求导

我们还可以把A^2看做

A跟A的点积

利用点积的公式

点积公式

先对它求导点上它

再加上它对它求导点上它

这俩是相同的

所以就等于二倍的A点上A的导数

结果好像不一样

实际上我们可以证明它是一致的

这是矢量的导数

重要的是矢量导数的解析运算

这是一元函数

一元函数的导数

把一元函数写成一个

解析形式

然后我们再对这一元函数求导

一元函数求导

那么就等于这个

三个分矢量合起来求导

利用导数的性质

等于分别是三个分矢量的

导数之和

我与它求导的时候

大家看我对它求导的时候

因为是直角坐标系

它的三个单位矢是常矢量

我们说对这两个乘积的导数

这是常矢量可以提出来

所以就等于对它求导

因此结果呢

就是三个投影的导数

分别乘以三个单位矢量

或者写成Ax一点

Ay一点

Az一点

这就是一元函数

一元矢量函数

它的导数的解析形式

对它求导

就等于对它的三个分量

三个投影求导

这是我们说的一元

多元函数

它是一个xyz的函数

多元函数

它也可以写成这个形式

这是它的投影形式

于是我多元函数是偏导数

大家看

这是我偏导数的简易写法

我们上次已经说了

这本来应该是∂A/∂x

写成∂xA

写成这个形式

对x求偏导数

于是也是三个分量求偏导

三个分量求偏导

分别等于三个分量的偏导之和

对它求偏导的时候

它是常矢量

就对它求偏导

所以这个的结果对A的

这个∂x求导的结果

就是对它的Ax投影

对x求偏导

对y的投影

对x求偏导

对z的投影

对x求偏导

然后可以写成这个形式

类似是yz

所以运算方法跟标量一样

只是因为它是矢量

所以它有三个分矢量

你要对它的分矢量

逐个进行求导

就比这个普通的标量

要复杂得多

矢量微分的解析计算

我们前面有矢量的微分的

矢量形式

我们要把它写成标量的运算

一元函数

一元的矢量函数

A=A(t)

前面说了

它应该是它的微分

就等于A一点乘以dt

A一点我们刚才的计算

就是矢量的导数的解析运算

就等于这个对吧

我们说它的导数运算

就是它的三个投影的导数

所以把这个写成这个形式

再乘以dt

就是一元函数的

微分的解析形式

再看多元

多元函数我们刚才也说了

一个多元函数的微分

写成矢量形式

就是这矢量对x求偏导乘以dx

这矢量对y求偏导乘以dy

矢量对z偏导乘以dz

而我们刚才又写了

一个矢量的偏导数是这个

对x的偏导数是写成

解析形式是它

于是再乘dx

对y求偏导数

它的解析形式是它

再乘以dy

同样是z dz

所以这就是矢量微分的解析形式

这是一元函数

这是多元函数

都是这样的结果

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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