Video在线视频

这样的话

我们就做好了准备工作

刚才说

我们为什么不能够

去讨论它的动力学呢

我们欠缺的就是

角动量的计算和动能的计算

现在角动量的计算

动能计算

包括转动惯量的

定义和计算都有了

给我们下面讨论动力学

做好了准备

所以我们第四大部分

就是定轴转动的运动规律

就是定轴转动的动力学

取转动轴为z轴

分别应用各个转动定律

来讨论刚体定轴转动的

运动规律

首先我们用角动量定理来讨论

就是角动量定理

对定轴转动的应用

为什么先用角动量定理呢

就因为

在轴上会出现未知的力

那么用角动量定理

就可以避免轴上未知力的影响

所以我们讨论

定轴转动的时候

第一个也是最主要的

是应用角动量定理

首先看原理

原理是什么样

我们都学过

我们现在回顾一下

我们把刚体

看作一个特殊的质点系

所以我们应用的是质点系

对轴的角动量定理

就是外力对z周的力矩

总力矩

等于多少呢

等于质点系对z轴的

总角动量的变化率

这是微分形式

积分形式呢

就是外力对z轴的冲量矩

等于这段时间内

刚体或者质点系

对z轴的角动量的增量

这是它的积分形式

如果在一段时间内

这个外力的力矩总是零的话

那么Lz守恒

就是对z轴的

总角动量保持不变

我们把这个定理

先应用到一个刚体的情况

应用到一个刚体

它有个名字叫转动定律

我们来看什么情况

对z轴角动量

如果是一个刚体的话

它就等于Iω

这里边I是常数

于是我们外力对z轴之矩

就等于角动量变化率

那么因为I是常数

所以就等于I乘以ω一点ω

一点就是角加速度

于是等于I乘以角加速度

等于I乘以ϕ两点

这就是转动定律

一个刚体绕着z轴转动的话

那么外力对z轴的力矩

就等于它的

转动惯量乘以角加速度

这就是转动定律

下面我们看一个例子

一个细杆

上面带着一个质点

构成一个单摆

摆长是l

这个均匀细杆的质量是大M

摆锤质点的质量是小m

忽略轴上摩擦

求这个摆它的运动方程

这样的话

我们是以摆锤和摆杆

作为一个系统

来应用转动定律

对z轴转动定律

大家看

我把x轴 y轴画出来

z轴就是垂直纸面向里

所以z轴已经确定了

z轴确定了

我的这个正方向都确定了

于是我对z轴应用角动量定理

那么对于这个系统

它对z轴的外力矩

只有重力矩

它的重力矩是

在质心上的和重力

对这一点的矩

是负的二分之r乘以Mg sinθ

这是杆的对z轴的重力矩

摆锤的重力矩

它的重力在这儿

于是就是负rmg sinθ

这是外力对z轴的外力矩

等于谁呢

等于整个系统它的角动量

整个系统角动量

等于它的总的转动惯量

乘以角加速度

这就是转动定律

于是就是这个的转动惯量

就是Mr方

这个杆的转动惯量

是三分之mr方

这么合起来就总的转动惯量

乘以角加速度

这就是应用了转动定律

于是运动方程

就是这样一个运动方程

我们就可以把它解出来

就是它的运动规律就有了

第二个例子

阿得伍德机

m1 m2它的质量是大M

半径是R

然后还是原来说的

绳子不伸长

轻绳

不考虑轴上摩擦

我们来讨论

求它的角加速度

首先我们对M

因为我们现在是对一个刚体

所以就要对M

于是又把这切开 这切开

这儿有绳子张力T1

这儿有绳子张力T2

于是对这个刚体来说

对z轴的外力矩

就是这两个张力的力矩之和

那么它的力矩是正的

它的力矩是负的

于是就T2R减去T1R

这就是外力矩

等于谁呢

等于刚体的转动惯量

I乘以α

这个刚体是一个

可以看作均匀圆盘

所以是二分之MR方乘以α

注意这个时候

两边绳子张力就不能相等了

它的张力不等

它就产生了角加速度

如果m等于零的话

它张力就相等了

大家还记得

我们在这门课开始的时候

讲到阿得伍德机

就曾经说过

你用了什么条件呢

用了在一根绳子上

张力处处相等

两边绳子张力也相等

我就问你

为什么两边绳子张力相等

那时候我们还不能够做圆满解答

直到现在我们才给出答案

什么情况下它才相等呢

不考虑轮子质量的时候

它才相等

道理就是刚体的转动定律

给我们的结论

所以到现在

才有一个正确的解释

然后这里边T1 T2

都是未知的α

也是未知的

我想解决这个问题

还要对m1 m2分别列出方程来

才可以解出来

当然这非常麻烦

我们就不去继续做了

还有更简单的办法来解

第三个

我们把它应用到什么呢

应用到一个刚体系和质点系

就是不只限于一个刚体

也不只限于一个质点

可以有很多质点

可以有很多刚体

这样的话就非常普遍

我们还是刚才那个问题

一个滑轮

两边两个重物

因为这重物是平行运动的

所以我们把这两个重物

都看作质点

于是我把这个

m1 m2 滑轮 绳子

看作一个系统

就是刚体加上质点系

这样的话

我们就非常灵活了

对于这个系统

然后同样对z轴

应用角动量定理

这个时候就不能应用转动定律了

要应用对轴的角动量定理了

于是 对轴的外力矩

这个外力矩就已知了

是谁呢

是m1 m2的重力矩

分别是m2gR减去m1gR

这是总的外力对z轴之矩

等于谁呢

等于总角动量的变化率

这是m1的角动量

m2角动量

滑轮角动量

现在我可以算出来了

它就是I乘ω

那么v等于ω乘R

所以变成了m1R方

加上m2R方

加上I乘以ω

然后对时间求导

只有ω对时间求导变成了α

于是力矩

外力矩之和

等于这个乘以角加速度

我们就把角加速度

一步就计算出来了

这就是m2减m1g

除以m1+m2+二分之大M乘以R

我们就一步得到结果了

像我们刚才我们把它拆开

把它分别应用转动定律

来计算非常麻烦

我们用这样的一个系统

直接就把它计算出来

因为T1 T2

在这里边当做内力了

对于质点系来说

角动量定理来说

内力是不出现的

我们下面做一个

定轴转动的实验

这里有一个转盘

这里有一个重物

我们把转盘重物

还有绳子算作系统

它是绕着这个轴做定轴转动

那么对这个轴的外力矩

就是这重物的重力矩

这是个不变的一个常数

那么我们来看一下

它的转动的角加速度

大家看是这样一个角加速度

这个角加速度

取决于什么呢

取决于我们整个系统

对z轴的转动惯量

它等于总的转动惯量

乘以角加速度

等于一个确定的外力矩

这个总的转动惯量

等于重物的转动惯量

加上圆盘的转动惯量

重物的转动惯量是不变的

我现在改变一下

圆盘的转动惯量

我把它的质量分布

移到外边来

于是圆盘对转轴的转动惯量

就增加了

那么也就是

总的转动惯量增加了

这样的话

在同样的外力矩作用下

它的转动的角加速度会减小

大家看实验

是不是这样的结果

我把这几个重物

都移到外边来

那么由转动惯量定义

重物离的转轴越远

它对转动惯量的贡献越大

于是这个圆盘总的转动惯量

会大大增加

现在我们做实验

让它转动

大家看明显的

角加速度比刚才的小

这就是我们做的实验

定轴转动的

角动量定理的实验

下面我们再讨论一个例子

大家看

这个是什么呢

这是一个均匀的细杆

然后一个子弹

水平入射打进来

并且嵌到这儿

跟杆一起运动

那么这个子弹刚嵌入的时候

这个的角速度是多少

这里我们来看

我选子弹和杆作为系统

那么嵌入过程中

我这个系统

对z轴的角动量是守恒的

为什么守恒呢

大家看

这个子弹打进来并且嵌入

这个过程非常剧烈

时间非常短

所以可以看作一个碰撞过程

我们说碰撞过程

可以把非碰撞力都忽略

所以在这里面

重力是可以忽略不计的

那么除了重力之外

还有没有外力呢

有没有不能忽略的外力呢

大家注意这里是有的，

在哪儿呢

在轴上

当你碰撞的时候

轴上产生一个强大的作用力

这个作用力

是跟你碰撞产生的

它是跟碰撞有关的

它是不能忽略的

所以它是有外力的

但是轴上的与碰撞有关的

不能忽略的外力

它对z轴的矩是零

所以我们看

这样的话在碰撞过程中

它对z轴角动量是守恒的

那我问你

在碰撞过程中

动量是不是守恒呢

因为在碰撞过程中

外力不能忽略

所以它动量是不守恒的

它不属于自由碰撞

那么我们先讨论

这个角动量守恒

于是可以列出式子来

初始状态的角动量

就是子弹的角动量

等于mv0l

然后碰撞之后

子弹的速度是v

那么它的角动量是mvl

再加上杆的角动量Iω

这是碰撞之后的角动量

因为这个子弹嵌入了这个杆

所以它的速度v就等于ω乘l

于是ml平方ω

加上大Ml平方ω三分之一

这是它的转动惯量

是三分之一的ml平方

于是就把ω求出来了

这样的话我知道了ω

就可以知道

这个碰撞之前跟碰撞之后的动量

你可以验证一下

碰撞前后的动量是不守恒的

还有其他一些角动量守恒的例子

比如大家看花样滑冰

花样滑冰运动员

把冰刀的前刃踏在冰上

然后绕着垂直于接触点的竖直轴

做一个定轴转动

那么刚开始的时候

他把身体的四肢都伸展开

然后再聚拢起来

这样的话他的角速度

就发生了显著的变化

如果我们忽略了摩擦阻力矩

那么这个人

绕着这个z轴转动角动量

应该守恒

我们把人看作是一个刚体系统

比如说我的头 躯干 四肢

都可以看作一个刚体

所以人看作一个刚体系统

那么整个刚体系统

对z轴有个总的转动惯量

那么整个人是角速度是相同的

所以人它对于z轴的角动量

就应该等于

总的转动惯量乘以角速度

我们刚开始的时候把它打开

这个时候总的转动惯量

应该是非常大

那么我们记作I总1

这时候的角速度记作ω1

然后又把它非常靠紧

所有的四肢都仅仅贴住躯干

这个时候

总的转动惯量我们是I总2

这时候角速度是ω2

由于第二种情况的转动惯量

远远小于第一种情况转动惯量

所以第二种情况的角速度

大于大于第一种情况角速度

所以刚开始人们都伸长的时候

四肢摊开的时候

可以是很优雅的转动

但是一旦收拢以后

就高速旋转

这样的话起了很好的效果

这是我们角动量定理的应用

我们现在给大家演示一个

对z轴角动量守恒的例子

这是瓦特调速器

瓦特调速器大家看

它也可以看作一个刚体系

那么就是整个就这个装置

这个装置

这两个重球以及这个

都算是组成它的刚体

这个刚体系当我这个位置的时候

打开的时候

刚体系对z轴的转动惯量

是最大的

当我把它放在这个位置的时候

对于z轴转动惯量是最小的

我现在让它绕着z轴旋转

忽略了转动摩擦

那么对z轴的角动量应该守恒

于是我在这个位置的时候

转动惯量大

它角速度小

在低位的时候转动惯量小

角速度大

我们看这实验

我们再看一遍

转动惯量大的时候转起来

好

这就是瓦特调速器的实验

我们刚做了

瓦特调速器的实验

来演示对z轴角动量的情况

下面我们做一个

茹柯夫斯基凳的实验

同样来验证

对z轴的角动量守恒的情况

那么我们现在用一个转移

来代替茹柯夫斯基凳

来做这个实验

人 哑铃 椅子作为整个系统

如果绕着它转动的话

那么忽略了

椅子对z轴的摩擦力矩

那么整个系统

对z轴的角动量就守恒

当人把这个哑铃举开的时候

那么整个系统

对z轴的转动惯量最大

当他把它收缩到这个位置的时候

那么转动惯量最小

角动量守恒

那么如果转动惯量大

它的转速就慢

转动惯量小

转速就快

我们下面

就具体做这个实验