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Video课程教案、知识点、字幕

下面我们介绍两个

也是常用的坐标系

虽然直角坐标系是最普通的

最常用的

但是还有两个常用的坐标系

一个是平面极坐标系

平面极坐标系

然后下面还有一个

另一个自然坐标系

坐标系不一样

体现在它的基本矢

或者单位矢不一样

单位矢不一样

于是矢量的投影就不一样了

然后这个单位矢不一样

它的单位矢的变化率

也不一样

单位矢变化率不一样

我们一会儿会发现

就是运动学的关系式

表达式

投影的表达式也不一样

所以整个都要从新的推导

我们来看一下

平面极坐标系如何

平面极坐标系

它呢

是选择的一个是极点

就是它的原点称为极点

还有一个呢

是极轴 Ox轴

这是它的两个基本的元素

那么

它的参量是什么呢

它的参量

一个是矢径的长度r

一个是矢径跟Ox轴的夹角θ

这是它的两个参量

注意呢

这个角度是有正负的

逆时针的方向的角度是正的

如果矢径在这儿

这个角度是顺时针方向

这个角度是负的

所以角度本身有正负

那么这是一个质点的轨迹

那么这是质点的矢径

它的两个参量

一个是这个的长度大小

一个是这个夹角

那么对应的单位矢是什么呢

一个是跟r对应的

这个沿着它的方向径向向外的

单位矢就是r

这个叫径向单位矢

还有一个跟它垂直的一个单位矢

叫θ这个单位矢

因此这个坐标系

也是正交坐标系

也就是说它两个单位矢

是互相垂直的

在质点沿着它的轨迹运动过程中

矢径发生了转动对吧

发生了转动

于是它的单位矢就发生了转动

所以这个坐标系

是一个转动的坐标系

它是一个转动的正交坐标系

直角坐标系是不动的对不对

这是跟它的最大区别

它是一个转动坐标系

这样的话它两个矢径

两个单位矢

就不再是常矢量了

在转动过程中方向发生改变

不再是常矢量了

这是它的特点

那么有同学就问了

说你这参量选择θ没有问题

你为什么

这是径向这是横向

把横向的单位矢

也用θ来标注呢

这么标注就显示这个单位矢

跟θ这个参量是有关系的

它的关系在哪儿呢

我们给大家说一下

为什么把这个横向单位矢

跟它建立起联系来

大家看

如果矢径的长度保持不变

这样的话这些点的轨迹

构成一个什么呢

矢径长度保持不变

这些点构成了一个圆周

对不对　构成圆周

圆周的法线方向什么方向呢

是径向

所以跟r矢量对应的单位矢

是个径向的

我们再回顾一下

直角坐标系

直角坐标系呢 xyz三个坐标轴对吧

大家看这是x坐标轴

x保持为常量的那些点

是什么样

构成什么样呢

构成一个跟x轴垂直的一个面

对不对

这个面

它的法线方向什么方向呢

是跟这个面垂直

正好就是x的单位矢量

所以　我们看到

一个x的单位矢量

是x为常数的这个面的法线方向

跟r这个参量相对应的单位矢

是r为常数的这个曲线

或者是曲面的法线方向

这样我们看

θ为常数

它的对应的一些点构成什么呢

构成一条射线对不对

θ为常数点构成一条射线

这条射线的法线是什么方向呢

正好是这横向

所以它跟它相联系

这是一种必然的内在的联系

所以它就是

这样的一个关系式

它是相对应于它的

这样的话就建立起了一个

平面极坐标系

因为我们现在呢这是径向

这是横向

径向单位矢横向单位矢

因为它是发生转动

所以这两个单位矢

它都不再是常矢量

而是变化的

于是它都有变化率

我们来看一下

单位矢的变化率

我们前边在讲矢量的时候曾经说过

单位矢的变化率

就是方向变化率

因为它没有大小变化

所以就是方向变化率

而方向变化率就等于角速度

叉上这矢量本身

所以这个单位矢的变化率

就等于ω叉它

大家看

当你质点这么运动的时候

转动的角速度是不是这个方向

对不对是这么转

它的角速度这个方向

这个方向的角速度一叉r

正好是横向

于是它跟它的叉积

等于角速度乘以横向的单位矢

这就是径向单位矢的

时间变化率

等于角速度乘以横向单位矢

这是非常重要的关系

同样

我这个横向单位矢也有变化率

也是角速度矢量去叉它

这一叉大家看

正好是径向的单位矢的反向

所以它就等于负的θ一点r

所以大家看

我们学到现在

刚刚讲的

矢量的一些个关系式

在这里都用到了

这就是单位矢的变化率

径向单位是变化率

等于角速度乘以横向单位矢

横向单位矢变化率等于负的

角速度乘以径向的单位矢

下面呢

我们就表示我们的矢径

如果以这个为单位基本矢的话

我矢径只有一个分量

因为你矢径就是这个方向

你这个方向有一个单位矢

所以矢径写成解析式的话

它只有一个分量

只有一个r分量径向分量

所以写出来的话

径向有个r　横向是0

所以这是非常简单

在平面极坐标系里面

这个矢径

只是一个方向的投影

那么我们看它的速度

应该等于多少呢

速度是这个的变化率对不对

这个的变化率

所以呢速度应该是r一点0

加速度呢是两次导数

r两点0

所以加速度应该等于它

大家看对不对呢

初看起来是对的对不对

实际上完全错误

为什么

就因为你对它求导对吧

你对它求导

就等于对这两个求导

对这两个求导我们知道

根据导数运算法则

应该先对它求导乘以它

再对它求导乘以它对不对

为什么我们在直角坐标系

表达式里边

每一个分量的变化率

都只是前边系数的变化率呢

因为直角坐标系的单位矢是不动的

是常矢量

所以只需要一项

而这里是两个都变化

所以一求导它也有导数

它也有导数

所以应该出了两项

大家看我对它求导

应该等于它的一点

r一点乘以r矢量 r单位矢量

再加上

r乘以这r一点的变化率

r一点的变化率呢

等于ω×r

所以它出来两项

一个是r一点r

一个是ω×r

或者是θ一点θ再乘以r

所以对它的导数

也就是它的速度

绝对不等于它

等于谁呢

等于r一点r加上rθ一点θ

我们来看就是这个结果

v等于r一点等于r一点r

加上rθ一点θ

或者写成呢

r一点r加上ω×r

这才是平面极坐标系里的

速度表达式

大家看

显然跟直角坐标系的不一样

对吧不一样

这就是选择了不同的坐标系

它的运动的关系式

表达不一样

那么径向的速度投影就是r一点

横向速度投影叫vθ

等于rθ一点　或者是ωr

下边我们求什么呢

求加速度

加速度是谁呢

是速度的变化率

大家看就太复杂了

速度变化率先对它求导

再对它求导

对它求导出来两项

对它求导出来三项

我们来看对它求导

先是对它求导是r两点r

然后这个不变对它求导

这个求导以后是ω叉上它

所以出来两项

然后对它求导

先对它求导是r一点θ一点

对它求导是rθ两点θ

最后还对它求导

对它求导是θ一点r

负的θ一点r

所以写出来的话

大家看就这么复杂

这具体的呢我们就不写了

直接看这个就可以了

那么它的结果呢

你回去可以自己去推导一下

就是推导它出来两项

对它求导出来三项

合起来是这样的两个分量

一个是径向分量

r两点减去rθ一点的平方

这是径向分量

一个呢是横向分量

rθ两点加上

2倍的r一点θ一点θ

这是横向分量

所以这是径向分量

加速度分解成两个

一个是径向分量

r两点减去r一点的平方

一个是横向的加速度

是rθ两点加上

2倍的r一点θ一点

而这个式子

又可以写成这个形式

就是r分之一

括号r方θ一点的导数

怎么从这个到这个你不要管

你要管的是什么呢

你要管的是对它做一下求导

验证一下是不是等于它

对它求导出来什么呢

先对它求导对吧

先对它求导

就说2倍的r

然后是r一点 r一点

再乘以θ一点

然后对它求导

就是r²θ两点

然后再除以r

整理一下正好是它

所以横向加速度

就是这个结果

这里要说明的是

平面极坐标系

是我们经常要用到的

所以虽然比较复杂

但也希望大家把它记下来

这是我们经常要用到的一个坐标系

平面极坐标系的特点

可以区分r的大小和方向变化率

你看这个就是r的大小变化率

这一项就是r的方向变化率

这就是我们说的这个特点

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

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-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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