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我们下面要说第二种类型

就是微分方程组型

牛顿第二定律本质上是微分方程

所以最常见的还是微分方程组型

在这种情况下一般F是变力

不但要求加速度

而且一般还要求速度和矢量

需要积分

所以这是微分方程组型

我们看一个例子

一个轻绳

就是所谓轻绳

就不考虑质量的绳子

系着一个质点

一个小球m

在竖直平面内

这是它的原点

把它选作原点

那么这个方向取作x

当那个θ角为零的时候

这个的速率是v0

求θ角的时候

这个小球的速率

和绳子的张力

这是我们的问题

那么求这个问题的时候

同学说

我这个很好做呀

我用机械能守衡不就行了吗

可是你要注意

我们现在还没有机械能守衡

所以在现在这阶段

我们等于是从零开始

我们到现在只学了牛顿定律

所以你要用牛顿定律

来解决这个问题

我们来解

解这个的时候呢

最好用平面极坐标系

为什么呢

我们中学同学用的

一个是切向的

一个是法向的方程

那个用的是自然坐标系

用自然坐标系的时候

大家看

当我这个质点这么运动的时候

我这个力是切向方向是个负的

你要是这样一个方程

当你这个往下边运动的时候

我这个切向力是正的

两个方程不一样

所以你要用自然坐标系的时候

我往上运动 往下运动

是要分别讨论的

我用平面极坐标系

自己本身θ

本身有正负

它的横向速率本身有正负

所以它就自动的

把你的往上运动 往下运动

全都描述出来

所以一般我们选

平面极坐标系比较合适

我们现在看横向

横向的时候

因为它是圆周运动

所以它的r就等于R

横向的这个力

应该等于质量乘以横向加速度

横向加速度r一点

是绳长的变化率

我们知道绳子是做圆周运动

绳长变化率是零

所以这一项是零

所以就写成呢

横向力大小等于-mgsinθ

这一项是零

所以就等于m

这个R是大写的R

变成mRθ两点

所以我用这个式子

这是0

把这个变成R

大R写成就是

把它写成这个式子

还可以继续写

因为R乘以θ一点

一点是dvθ

所以还可以写成mdvθ/dt

就是这个式子

那么我想解这个式子

怎么解呢

我们来看

先咱不看后头　先看这个

这个的变量是谁呢 是θ

而且现在

我对θ取这个二阶导数

其实这个式子的自变量是t

对吧

因为你是对t求导

所以这个式子的自变量是t

可是我这里又有θ

这个变量

所以这有两个变量

等于都可以当自变量

所以我没办法计算

怎么办呢

我就要换

就是变量置换 换变量

怎么换呢

我就把θ一点换成θ

取对θ变量 大家看

Rθ两点

应该是θ一点对时间求导

所以等于dθ一点dt

然后我用咱们的复合函数微分法

把dθ一点除以dθ

然后dθ再除以dt

这是复合函数微分

这样的话就把原来的

以t变量

现在换成以θ为变量

那同学说

你这还有一个以t为变量呢

dθ比dt变身就是θ一点

所以就写成Rdθ一点dθ

乘以θ一点

于是大家看

这就是我要求的函数

这是变量

跟这边自变量相同了

所以原来在这个式子

有两个自变量

一个t 一个θ

现在我把t这个

换成了θ和θ一点

于是就变成了一个自变量

这就叫变量置换

以后我们这样的工作常用

所以就把dθ一点dt

这个自变量dt

t换成了θ

这样的话就可以积分了

下一步就要分离变量

这边有θ跟θ一点

这边有θ

我把凡是关于θ的放在一边

关于θ一点的放在一边

大家看就变成这样了

变成Rθ一点dθ一点

所以把θ一点的变量

全放在这边

把θ变量就放这边

这叫分离变量

下面一步怎么办呢

我两边作定积分

咱们先看这边

这边定积分是从零积到θ

咱们这是已知条件是θ

是等于零的时候

速率是知道的

所以从零开始积到θ

这是零到θ

那么零的时候

你对应的角速度θ一点

就是θ一点零

积到t时刻的角速度θ一点

所以这边从零积到θ

这边积的是θ

等于零的时候的角速度

积到任意角的角速度

所以它两个是对应的

这个积分

θ一点dθ积分的结果是

二分之θ一点

大家看是这个

1/2θ一点的平方

所以左边积分出来

是二分之θ一点平方

从θ零一点到θ一点

右边的积分

sinθ的积分是-cosθ

所以变成积cosθ从零到θ

所以两边的积分是这样

把这个θ零一点θ一点

跟这个0θ代进去

我们得到这个结果

由这个结果

再由横向速率

等于R乘θ一点

就得到了这个关系式

就是把两边都乘以一个R之后

把它乘进去

就变成了vθ平方

减去v0的平方除以2

等于gR（cosθ-1）

就得到这个关系式

这是我们利用这个办法得到的

还有一种方法

我们刚才说

Rθ两点等于dvθ/dt

所以-gsinθ等于dvθ/dt

这样我们仍然用变量置换

把dt换成谁呢 换成θ

这样的话就是-gsinθ

然后也变量置换

把这个dt换成dθ

就是dtθ/dθ

上面dθ除以dt

dθ/dt就是角速度

角速度等于vθ除以R

于是呢

我们现在就可以分离变量

分离变量就是vθdvθ

等于-gRsinθdθ

然后两边积分

这边还是零到θ

这边开始的速度θ

等于零的时候是v0

积到vθ

于是也得到这个结果

所以我们两种办法都可以

但是这个看起来要简单一点

得到这个结果之后

就可以知道

θ角时候的速度

或者是速率

我们现在取它的绝对值

取它的模

于是它就等于vθ的绝对值

vθ是有正负的

所以这就是模

等于它vθ的绝对值

就等于v0平方

减去2gR（1-cosθ）开方

这就是我们要求的结果

就是你不是要求θ角时候的

它的速率吗

就是这个结果

现在要求谁呢

求张力了

张力的时候要用径向

径向方程

大家注意

径向方程

是从中心指向外为正

向外为正

所以张力是负的

重力的分量是正的

等于谁呢

这个是向心加速度

mv平方除以R

它以向外为正

所以前面加个负号

是-mv平方除以R

由这个就可以把张力求出来

于是张力就得到这个结果

我们有时候

同学不太习惯径向

因为径向向外可能出错

我们也不一定

非得用径向方程

我要求这个张力

还可以用法向

所以可以写成法向

法向向里为正

所以T是正的

减去mgcosθ

等于mv平方除以R

这样的话也可以

所以两个投影

那个是横向投影

这可以法向投影

都是可以的

下面有一个问题

就是假如知道了

v0等于根号下4gR

让你求谁呢

求它转到最高点

θ等于π的时候

它的速度多大

这样的话

我们就把刚才那个公式代进去

v(π) θ等于π的时候

就等于v0平方减去2gR

1减cos 这就是π

cosπ就是-1

所以这就是变成2

这就是4gR

这个v0平方是4gR

减完之后是0

比如说

假如在θ等于0的最低点的时候

它的速率

根号下4gR的时候

它转到最高点速率是0

大家想

有问题没有呢

显然不对

转到最高点速率为0

它不掉下来了吗

所以结果显然不对

问题出在哪儿呢

问题出在

我们上边的计算

包括你的计算

我们还特意强调

那个矢径R的大小

等于它的圆周的半径R

认为整个过程

都是圆周运动

而且还有一个横向

跟那个径向的讨论

所以上面的

计算关系式的成立条件

是圆周运动

可是当你的初始速率

比较小的时候

它可能就脱离了圆周运动

变成了斜抛

所以它到后来就不满足了

你这个上面的公式条件

因此它的结果就不正确了

所以这个结果是不正确的

不正确地应用了公式

所以这不正确

那么我们下面一个问题

达到最高点的时候

你这个初始情况的v0

最小需要多大

它才可以达到最高点

我们说达到最高点

它恰好是张力为0

它是所需要的v0最小

所以我们就设

θ等于π的时候

Ｔ 张力是零

看一看需要v0等于多少

所以T(π)等于0

就是转到最高点的时候

张力恰好是0

这个时候v0等于多少呢

是根号下5gR

也就是

你如果v0是根号下5gR

它恰好可以转到最高点

这个时候

还一直是圆周运动呢

我们进行讨论

第一个

此解适用的条件

咱们刚才得到的

vθ和T的适用条件

是质点做圆周运动

这是条件

如果不满足这个条件

你的结果就错了

在不同的初始条件

就是你这个θ等于0的时候

v0不一样的时候

这个质点做的

三种不同的运动

一个是来回的摆动

一个是摆到90度之后

它脱离圆周运动斜抛

还有一个呢

摆到最高点

然后继续摆动下来

所以三种可能

通过我们的结果

文字结果

可以讨论三种可能的情况

如果v0平方小于2gR的时候

它是在正负二分之π之间摆动

如果v0平方

大于2gR小于5gR的时候

它就摆到90度之后

在某一点脱离圆周进行斜抛

当你这v0平方

大于等于5gR的时候

它可以转到最高点

然后继续转下去

这就是我们这个问题的答案

通过这个

我们可以看到

你做了文字解

还可以用文字解做一些讨论

把所有可能的情况

都可以讨论到

这就是解一个问题

解出来之后

你还可以做各种的讨论

用这解

来达到更多的要求