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Video课程教案、知识点、字幕

我们看一下应用

在光滑的水平面上

一个均匀的圆盘

它的质量是m

半径是R

在水平的常力F的作用下

这个力是F是个常力

大小方向都不变

作用点距离质心也就是

圆盘的中心是R

同学说了

这怎么一个力

可以长久的在这儿作用呢

我可以在这儿有一个轴

轴上有一个绳子

我这个力就在这儿拉它

所以就可以保持一个常力

而且距离它是一个不变的长度

一个常力作用下

它在这个平面上运动

求在0到t时间内

0时刻在这儿

t时刻在这儿

0到t时刻之内

它滚动的距离S

以及它转动的圈数n

就是讨论这个问题

下面我们来计算一下

x方向就是这个方向

我们看

我们先来求

它在0到t时间内滚动距离S

滚动的距离

就是在这段时间内

质心走的距离

所以我们求在这段时间内

质心走的位移

就是它滚动的距离

所以S等于Δxc

质心在x坐标上的增量

那么这个位移

应该等于谁呢

因为质心的加速度是常加速度

所以等于二分之ac乘以t方

ac是等于力除以质量

这是一个常数

所以等于二分之act方

把这个代进去

等于2m分之Ft方

这就是在0到t时间内

这个圆盘滚动的距离

下面求它转的圈数n

那么有人就说了

你知道了滚动距离

除以它的周长

不就是它转的圈数了吗

这是不对的

我们看

我们怎么样直接的

严格的计算它转的圈数

现在我选质心系了

因为要想知道转的圈数

要知道它的角速度

角加速度

所以在质心系里面

对过质心的z′轴

那么外力就是F

对z′轴的矩就等于F乘r

等于谁呢

等于这个转动定律

就是对质心的转动惯量

乘以它的角加速度

质心的转动惯量

是二分之MR方α

于是就可以把α求出来

那么圈数等于多少呢

我知道了角加速度

角加速度又是一个常数

于是在这段时间内

它转过的角度就可以算的出来

于是转的角度是ΔϕΔϕ

除以2π就是转的圈数

所以我先计算

在这段时间内转过的角度

转过的角度

因为这角加速度是常数

等于二分之αt方

是它转的圈数再除以2π

变成了αt方除以4π

我刚才由这个式子把α求出来了

于是代进来

就得这个结果

这就是它转的圈数

所以转的圈数

不能用S除以2πr

必须用它的角加速度

算出它的角位移来

从角位移除以2π

才可以算得出来

为什么

就因为我的这个距离

除以2πR等于圈数

必须一个条件

它是纯滚动

无滑动滚动才对

而在这里边

它是又滑又滚

所以它的圈数大家最后看

我把刚才这个S代进来

它等于r乘S除以πR方

不等于S除以2πR

说明什么呢

在一般情况下

这个圆盘是连滚带滑的

下面我们讨论一下

如果r等于零

就是那力通过这个圆心

或者通过质心的话

那么力对质心就没有矩

没有矩

那么角加速度就是零

于是Δϕ就是零

转的圈数就是零

所以这样的话

我拉着这个圆盘

做的平动

没有转动

现在我令n等于S除以2πR

我就是愣让它等于这个

就是说我愣让它是纯滚

刚才说纯滚情况下

n才等于S除以2πR

所以我让它相等

就要看

什么情况下才是纯滚

于是得到r等于二分之R

就是我这个力的作用点

正好在这个圆盘半径的中点上

这个时候

你这个圆盘做的是纯滚

也就是它转动的圈数

等于它走过的距离

除以它的周长

所以这是纯滚

从这里我们看到

实现纯滚

不一定非得有摩擦力

像这种情况

我力的作用点合适的话

配合起来正好的话

也可以实现纯滚

我们再看一个例子

典型的一个平面运动例子

一个均匀的圆球质量是m

半径是r

沿着斜面

斜面倾角是θ

从静止开始纯滚

下降高度h

求它的质心的速度vc

就是它从静止开始纯滚下来

已知是纯滚了

纯滚下来

下降高度h

让你求质心的速度是多少

第一种方法

我们用质心运动定律

那么沿着x方向

我用质心运动定律

圆球受到的外力是多少呢

沿着斜面方面呢

一个是它的

重力引起的下滑力

mg sinθ

还有摩擦力减去f

等于多少呢 Mac

质量乘以质心的加速度

大家注意这个f

可是静摩擦力

它不等于正压力乘以摩擦系数

所以这是未知的

为了解决这个问题

大家看这里是俩未知数

于是我要用第二个方程

就是对质心系

对它的z′轴

过质心跟它垂直的z′轴

应用转动定律

那么对它来说

我的这个重力是没矩的

对质心

只有摩擦力有矩

摩擦力是f乘r

我现在z′轴是这个方向

摩擦力的力矩是正的

所以它是f乘r

等于转动惯量乘以角加速度

转动惯量是五分之二mr方

那么纯滚情况下

ac等于r乘以α

所以r乘α就是ac

所以等于五分之二mrac

这样的话大家看

两个方程

两个未知数

就可以把它解出来

于是解出来

ac等于7分之5g sinθ

f等于7分之2mg sinθ

这样的话就求出来了

我们看到

虽然这里边

摩擦力是静摩擦力

但它有个确定的数值

它不是随便的

一个随意变化

它有确定的数值

那么ac有了

于是就可以求出vc来

因为它这是一个匀加速直线运动

所以vc等于2倍的ac乘以S开方

把ac代进去

S等于h除以sinθ

所以代进去

等于7分之10gh开方

这就是我们求出的vc了

对点轴

角动量定理

必须是定点定轴

所以你要想在质心系里头

应用对质心的角动量定理

必须选质心系才可以应用

这样的话

这个z′轴才是定轴

所以一定要提醒大家

你要想对知心轴

应用角动量定理

必须在质心系才可以

这样的话我们再强调一下

平面运动是分解成随质心的平动

和绕着质心轴的定轴转动

在这里

我们分别用两个运动定理

来讨论这个问题

就把这两个运动的关系式

都应用了

这是一个典型的例题

第二种方法

我把圆球和地

作为一个系统

那么机械能守恒

取下降以后高度的地方

重力势能为零

于是我们就可以写出

机械能守恒的关系式

这是开始的时候

这个小球的动能是零

它的重力势能是mgh

等到降低h高度之后

它的动能是这么大

势能是零

大家注意

这个动能应用了什么呢

柯尼希定理

在这个时候它的动能

等于谁呢

等于质心系中的动能

就是它定轴转动

2分之Icω平方

再加上质心大质点的动能

所以这括号里面

是在下降到h之后

这个小球对刚体它总得动能

于是我们就可以把vc求出来

vc等于7分之10gh开方

这里边利用到了纯滚条件

纯滚条件的话vc等于ω乘r

利用了纯滚的条件

我们这样把它计算出来

这里头我们做一点说明

第一个

f是静摩擦力

它具有一个确定值

如果m是平动

并且没有摩擦的话

就是它直接从上边滑下来

不滚

直接滑下来的话

我们知道

算出来它的质心速度

应该是根号下2gh

现在算出来的质心的这个速度

是7分之10gh开方

小于直接滑下来的质心的速度

说明什么呢

说明在滚动过程中

一部分平动的动能减小了

而转化成谁呢

转动的动能

所以总的机械能相等

但是动能在平动

和转动两个自由动之间

发生了转化

那么静摩擦力不做功

但是它使得平动动能减小

因为我往下滚的时候

这个摩擦力

跟你的运动方向相反

所以它产生的加速度

使你质心的速度减小

但是在滚动过程中

它的力矩是正的

它使得滚动越来越快

所以摩擦力虽然不做功

但它起着一个转化作用

一方面

使得平动动能减小

另一方面

使得转动动能增加

大家看

我摩擦力做的功的功率是零

摩擦率的功率等于f点上

Q点的速度

Q点的速度是零

所以这个项肯定是零

但是Q点的速度

我们以前曾经做过

等于谁呢

等于vc牵连速度

加上在质心系里边的

相对质心的转动的速度

所以vQ

可以分解成这两个速度之和

这俩加起来当然是零了

但是它跟它的点积

就是负的fvc

大家看vc这个方向

f跟它一点是负的

所以这个功

使得平动的动能减小

那么这个功率

使得它转动的动能增加

所以体现出f不做功

但是在两种能量之间

发生了转化

讨论到这儿

我们在第一种办法里面

去求质心加速度的时候

因为我是对质心轴

应用角动量定理

对质心应用它的

质心运动定理

在出现了未知力

于是要用两个方程

联力来求解

于是人们就想到

我能不能对瞬心轴

应用转动定律

因为对瞬心轴

应用转动定律的时候

摩擦力它的力矩就是零了

可以避免摩擦力的影响

直接计算出

转动的角加速度

这样的话就可以把

ac直接计算出来

所以人们就有这种想法

我们下面

就讨论这个问题

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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