当前课程知识点：力学 > Ch6.连续介质力学 > §3理想流体动力学(上) > Video

返回《力学》慕课在线视频课程列表

Video在线视频

Video

下一节:Video

返回《力学》慕课在线视频列表

Video课程教案、知识点、字幕

第三

连续性方程

质量守恒定律

现在我们要引入流量的概念

流体嘛

流量是非常重要的概念

这里边我现在选一个

矢量面积元dS

它的面积是dS大小

它的法线方向是n

dS大小乘以n

就是它的矢量面积元

这在我们前边讲

矢量的性质的时候

曾经给出矢量面积元

它是一个矢量

现在要求dt时间内

从这里流过去的流体的体积

已知现在的流速是v

这个面积很小

所以在这个面积上

流速近似为相等

于是流过去的流体体积

就相当于

这样一个柱体的高度

多高的柱体的高度呢

是v乘dt

这样一个柱体的高度

在这里边的体积的流体

在dt时间内

都可以通过dS面流出来

所以dt内流过dS的流体体积dV

就等于这个高度

乘以这个柱体的横截面积

横截面积我写作dS⊥

是这个柱体的横截面积

dS⊥就等于dS点上谁呢

点上v的方向

所以就等于v点上dS

就等于v乘以dS⊥

所以dV就等于v点dS再乘dt

下面我们说一下

体积流量和质量流量

单位时间内

通过dS的体积称为

通过dS的体积流量

所以通过dS体积流量

就等于dt时间内通过的

体积除以时间

这就是单位时间内通过dS的体积

也就称为体积流量

就等于v·dS

类似通过dS的质量流量

就是单位时间内

通过dS的质量

就等于它的dt时间内

通过的质量除以dt

就等于ρv·dS

这就是质量流量和体积流量

是通过谁呢

通过dS的

那么如果dQv,dQm大于零

那么就是相当于通过dS

向外流出

如果dQv,dQm小于零

就等于通过dm向里流进去

所以大家看到

我们一说流量

必须先指明

这个面积的法线方向

然后才能确定

是流进去还是流出来

顺着法线方向是流出来

是它大于零

逆着法线方向是要流进去

是小于零

这是通过dS

微元面积的流量

现在我们看一个有限的面积S

来通过面积S的

体积流量和质量流量

那么通过它的体积流量

就是通过它的

微元面积上的体积流量

然后积分

就是通过它的

有限面积的体积流量

所以通过S面的体积流量

就是v·dS

在S面上的积分

那么通过这个S面的质量流量

就是ρv·dS

在S面上的积分

所以流量就是单位时间内

通过这面流过去的

或者是体积

那么它就是体积流量

或者质量

就是质量流量

就是单位时间内通过S的

流体的体积

流体的质量

就叫体积流量质量流量

所以还要强调

讨论流量

首先要确定曲面的正侧

或者法线方向

我们规定像这个情况

就是一般的曲面

我们规定

你可以这样选法线方向

也可以这么选法线方向

都是允许的

但是对于闭合曲面

它的法线方向

大家都统一规定

一定是向外

这是统一的规定

下面我们看一下

流体的连续性方程

现在我任意找一个闭合曲面

闭合曲面围住一个体积V

所以一个闭合曲面

总对应一个体积V

我们刚才说

这个闭合曲面

它的法线方向一定向外

所以它法线方向是向外的

下面讨论dt内

流进去的质量dm

Qm是质量流量

是单位时间内流出来的质量

因为我们闭合曲面取向外为正

所以以向外流出质量为正

所以Qm指的是单位时间内

流出的质量

那么加上负号

就是单位时间内

流进去的质量

乘以dt

就是dt时间内流进去的质量

那么质量流量

是写作ρv·dS

在闭合曲面上的积分

然后乘以dt加个负号

就是流进去的质量

那么由质量守恒

它就应该是等于

S内部流体质量的增量

你流进那么多质量

质量就增加了

增加多少呢

增加了dm

把这个dt除过来

于是负的dm除以dt

就等于这个积分

那么m等于谁呢

闭合曲面内的总质量

等于它的

质量密度乘以dV的积分

所以就是这个质量

对时间的导数

它的变化率的负值

等于这个积分

这就是积分形式的连续性方程

或者是质量守恒的数学表达式

也就是闭合曲面S上

质量流量

这是质量流量

等于谁呢

等于S内流体质量的负的变化率

这个就是

积分形式的连续性方程

或者称为质量守恒的

数学表达式

我们还可以把它写成微分形式

微分形式的话

就是ρ乘以v的散度

就是▽·(ρv)

称为ρv的散度

等于谁呢

等于负的∂ρ/∂t

这个怎么来的呢

是在这个积分形式下

推导出来的

由数学上高斯定理

这个闭合曲面上的

点上dS这叫面积分

等于谁呢

等于这个矢量

它的散度倒三角点它

在这个体积上的体积分

刚才我们又说了

dm/dt可以写成

对这个的导数

把这个求导放到里面去

变成了∂ρ/∂t加个负号

于是这两个

都是在这体积上的积分

对于任何一个闭合曲面

任何一个体积积分都相等

所以它被积函数要相等

被积函数相等

就得到了

这个连续性方程的微分形式

就是ρv的散度

等于-∂ρ/∂t

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:

© 柠檬大学-慕课导航课程版权归原始院校所有，
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引，不提供在线课程学习和视频，请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。