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Video课程教案、知识点、字幕

最后我们要说一下

引力场里面

自由质点的运动轨迹

运动轨迹

要由它的运动轨迹的

微分方程来得到

我们来看一下

它的微分方程

我们采用平面极坐标

参量是r和θ

于是运动轨迹的微分方程

就是dr/dθ

它应该等于r一点/θ一点

θ一点很好办

因为我们知道

角动量等于mr方乘以θ一点

于是θ一点

就等于L除以mr方代进来

那么r一点怎么办呢

我们看

由E机械能等于广义机械能

等于它径向动能

加上它的惯性离心力势能

再加上万有引力势能

这样的话

已知E和L

就可以把r一点求出来

我们把r一点求出来之后

代到这里面去

就得到这个关系

这就是关于自由质点

它运动轨迹的微分方程

然后我们分离变量积分

最后就得到了轨迹方程

那么它的轨迹方程

是什么样呢

就是这个结果

我们最后

可以简写成这样的形式

就是r等于p除以1+e cos（θ-θ0）

大家一看就知道

这是一个

以平面极坐标形式写出来的

圆锥曲线的运动

所以它做的这个圆锥曲线

p e和θ0都是常数

p e是由它的系统的参量

刚才说了

它是由它的机械能

和角动量决定的

θ0取决于它的初始条件

这样的话

当机械能小于0的时候

偏心率小于1

它是椭圆轨道

这轨道是闭合的

如果E等于0

那么它的偏心率等于1

这是一个抛物线

它是一个自由态

可以到无穷远

机械能大于0

E大于1

于是它是一条双曲线运动

那么这样的话

就是我们讨论的自由质点

在有心力场里运动的结果

它的轨迹

现在我们看一个例子

从地球向火星发射飞船

我们已知火星的轨道半径

是地球轨道半径的1.524倍

求飞船从地球发射的初始速度

就是你从地球要发射一个

飞船到火星上去

你先要在地球上点火

使得飞船具有一个初速度v0′

于是它可以进入浩渺的宇宙

最后到达火星

就让你求这个初始速度多大

它才可以到达火星上去

这样的话我们就讨论

首先要讨论它的运动轨迹

那么讨论它

我们知道要在太阳系里讨论

因为它在太阳系里头进行运动

所以在日心系里讨论

那么这是太阳

这是地球

这是火星轨道

我们假设

它们的轨道都是圆周

首先我们设计一个飞行的轨道

那么大家看

我们从这个地方出发

首先飞行器要脱离地球的引力

那么离开地球的控制之后

就成为太阳系中的一个

自由运动的质点

然后这样的话

它就应该做一个椭圆的运动

这就是椭圆的一条运动轨迹

在这点跟地球轨道相切

就是它脱离了地球的

吸引力范围之后

它进入了太阳系的一个

椭圆运动轨迹

在这一点

这个椭圆运动

和地球的轨道相切

然后到达火星的运动圆周上

又跟火星的圆周相切

这就是我们设计的一个

最简单的运动轨迹

这叫双切轨道

有了双切轨道之后

我们就可以确定

这个飞行器它的机械能

那么就可以确定

它在这个点上

它所需要具有的速度v

那么这样的话

我们刚才讲了

一个椭圆运动

它的长半轴唯一的由机械能决定

我们有了它的运动轨迹

就可以把它的机械能求出来

利用它的长半轴

只是机械能的函数

所以椭圆长半轴

它这个等于GMm除以2倍的

机械能的绝对值

这是我们刚才得到的结果

这个就是指的太阳的质量

这是飞行器的质量

它应该等于多少呢

它应该等于

这是地球的轨道半径

这是火星的轨道半径

这是远日点

这是近日点

所以它应该等于二分之一的

地球轨道半径

加上火星的轨道半径

这都是已知的

于是就可以把机械能求出来

机械能等于多少呢

机械能等于这儿的动能

加上势能

这个的动能

我们是要求的

就是要求二分之mv方

v是要求出来的

它的势能

我们假设它脱离了

地球的引力范围之后

仍然在地球轨道附近

所以它利用的是

地球轨道的半径上的

万有引力势能

这样就可以把v求出来

结果v是等于这个结果

计算的值是32.7每秒千米

这是我们说

在飞行器脱离了地球的

引力范围之后

它在地球轨道附近

它所具有的速度

我们现在要求什么呢

要求在地球上发射时候的

初速度

因此我们下一步要在什么呢

要在地心系来讨论问题

换参考系了

要换参考系

首先要算出

在地心系里面

这个速度

所对应的地心系的相对速度

地球的轨道速度是大V

于是在地心系里面

绝对速度是v的话

它相对地心系的速度

等于这两个的差

等于2.9每秒千米

也就是说

当这飞行器

脱离了地球引力的作用之后

它还应该保留这样的一个速度

在地球上发射飞船之后

它具有这么一个初速度

然后它自由飞行

在这个过程中

它和地球这个系统

所具有的机械能应该守恒

所以由机械能守恒

它在这个无穷远处

就脱离了地球的控制之后

它的势能是0

它的动能就是刚才这个

速度所相应的动能

应该等于谁呢

在地面发射结束之后

它所具有的这个动能

以及在地球表面的

万有引力势能

这是初态的和末态的

机械能相等

就是机械能守恒

由此就可以求出v0′

就是这个飞船

所具有的初速度

等于多少呢

等于11.6每秒千米

有了这个数值

我们和第一宇宙速度

第二宇宙速度

第三宇宙速度可以进行比较

其中第二宇宙速度

就是脱离地球所需要的

最小初速度

是11.2每秒千米

第三宇宙速度

是脱离太阳系的

最小的初速度

是16.6每秒千米

所以我们刚才计算的结果

应该比第二宇宙速度大

比第三宇宙速度小

它是11.6每秒千米

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

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-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

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-§8驻波

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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