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第四

运动的长度缩短

动长和静长的关系

还是我们原来的讨论

这是一个运动的物体

沿着x方向放置

那么这个我同时在S参照系

来侧量首尾坐标

那么这样的话

S系测它的长度是动长

那么同时测它的首尾坐标

于是这个杆的动长

就等于x2-x1

这是它的动长

那么这时候同时测量的是

t1等于t2

S′系测的杆长

就等于x2′-x1′

就是你在这儿测量的时候

同时它有个

x2对应着一个x2′

就是你同时测量的时候

它对应着S′系的一个坐标

你这儿测量的时候有

对应着S′系的一个坐标

它等于x2′-x1′

就等于利用我们的变换关系

应该等于γ倍的（x2-x1）

然后减去uΔt

因为这是同时的

所以uΔt是零

所以就等于γ倍的（x2-x1）

等于γ倍的l

于是静长等于动长的γ倍

这样的话

我们又得到了一次说明

这里头有个思考问题

S′系看两次测量不同时

为什么还有

l′等于x2′-x1′呢

还有这关系呢

大家可以回去思考一下

就是我测量这个杆长的时候

我在S参照系是同时测量的

因此我认为动长是等于

这两个的坐标之差

那么我这个事件测量的时候

对应着S′系的一个坐标

这个测量是对应S′系的

另一个坐标

我在S′系

仍然用这俩坐标差

来计算它的静长

大家注意

这可不是同时测量的

为什么S′系还承认它的结果

作为静长呢

这个大家可以思考一下

所以运动方向上动长小于静长

静长等于γ倍的动长

同样

杆的长度的缩短

也是相对论测量的效应

这种狭义相对论的时空关系

在实际当中

得到了广泛的应用

特别是在高能领域

因为在高能领域的时候

粒子的速度都可以接近光速

这种效应特别明显

我们看一个例子π

正介子的平均寿命

是2.5乘以10的负8秒

这个看起来很短

其实已经是相当长了

在微观世界里面

衰变为μ子和中微子

以速度u等于0.99c的速度

来运动的π正介子

衰变前的它的运动距离

平均约为52m

你来解释一下

因为大家看到

它的速度这么大

乘以它的寿命的时候

它的结果才是7.4m

可是实际上

我在地面观测

一个π正介子从产生

到它衰变

它走了多长呢

走了52米

应该是7.4米

怎么实际走了52米呢

如果没有我们狭义相对论的

时空观的话

你就解释不了

甚至以为这是不同的粒子

或者是它的不同的情况等等

很难解释

可是用我们刚才讨论的

狭义相对论时空观

就非常容易的解释这个事实

为什么呢

就因为

微观粒子的寿命

是在它静止参考系测量的

就是你测量它寿命

是在相对粒子静止的情况下

产生最后湮灭

这个时间差测量的

在地面上看

它的运动

它不是一个静止情况下

而是在运动情况下

所以它的粒子的寿命是什么呢

是它的原时

地面上看

它从产生到衰变这是非原时

那么非原时等于原时的γ倍

所以Δt等于γ倍的τγ

等于多少呢

0.99c的话它的γ是7.09

这样的话

地面上的看它的速度

乘以它的时间

就等于γ倍的它的速度

乘以它的寿命

等于大概是52米

跟事实就非常的接近了

我们现在看一下

狭义相对论运动学问题的

几种解法

大家看这是一个平车

车的长度是l0

静长是l0

那么沿着x轴

以u做匀速直线运动

在这里面从A发出光来

从B反射到C来接收

那么以地面为S系

以车为S′系

分别来计算

这个光线从A到B

从A到B到C所需要的时间

事件1是发光

事件2是反射

事件3是接收

那么在S′系

计算非常简单

因为在S′系

这车是静止的

于是t2′-t1′等于l0除以c

t3′-t1′等于2l0/c

我还可以计算出

它的两个事件之间的空间距离

x2′-x1′等于l0

x3′-x1′等于零

这是它的空间距离

那么下面我们来看

在S参照系

S参照系第一种方法

用洛伦兹变换

直接由S′系的结果计算出来

这是我们讨论

时空问题的一个

最基本的解法

就是在这个参考系

我计算非常简单

于是另一个参考系的计算

就可以用洛伦兹变换

把这个结果换过来

非常简单就得到了

我们来看

t2-t1用坐标变换

等于γ倍的

（t2′-t1′）+u（x2′-x1′）

除以c方

t2′-t1′已知

x2′-x1′已知

代进去就得到结果了

所以非常的简单

又非常的准确

不会出现问题

那么类似t3-t1就等于

也是套这公式

因为在这两个事件

地点是相同的

所以u乘以零

于是就等于γ倍的

（t3′-t1′）

等于2γl0除以c

这就是它的

两个事件的时间间隔

下面我们再求空间间隔

空间间隔

就是这个x2-x1等于多少

大家一看非常简单

怎么简单呢

你这个长度是静长是l0

你这个车以匀速往前运动

所以地面参考系看

这个x2-x1就是它的动长

动长是静长的γ分之一

于是一下就计算出来了

但是它对不对呢

我们来看一下

由坐标变换

平直接计算一下

看对不对

用坐标变换来计算

x2-x1等于γ倍的

（x2′-x1′）+u（t2′-t1′）

这个我们刚才说这就是l0

这个也知道了

它是l0除以c

所以代进去

结果就是这个结果

它不等于l0除以γ

跟我们刚才

简单的讨论的想法

完全不一样

问题是什么问题呢

我们这个动长跟静长

它是有严格定义的

特别是动长

动长是什么呢

是一个运动物体

我同时测它的首尾坐标

得到的长度

这叫动长

我们回想一下刚才的问题

刚才问题是这点发光

这是事件1

然后在这点反射

所以这两个事件

在地面上

并不是同时的两个事件

因此

这两个事件之间的空间间隔

x2-x1不具有长度的

任何的意义

所以它不是动长

也不能套这公式

那么我们x3-x1等于γ倍的

（x3′-x1′）+u（t3′-t1′）

这个是0

代进去等于这个结果

于是我们通过坐标变换

我们可以

非常严格的准确的

计算出这个结果

那么我们还有另一种方法

什么方法呢

就是运动学方法

什么叫运动学方法呢

我们看这个在平车运动

我事件1是发光

事件2是光到达了反射面

所以在地面上看

这好像是一个追踪问题

就是光去追踪这个车厢

追上了

它就到达了反射地方

所以我可以用运动学的办法

来讨论这个问题

你要想用运动学办法

你就要把所有的参量

运动学的参量

都换到同一个参考系里面

所以你先要做工作

把这个运动学的参量

都换到S参照系里

因此你首先要计算出

这个车厢的动长

这时候真正是动长了

你要测量出

在S参照系测量出

这个车厢的长度

这个车厢的长度

就是动长

所以它等于l0除以γ

有了这个动长

我就可以用运动学的办法讨论了

于是第一个事件

发光

第二个事件

光到达反射面

那么相当于光去追这个反射面

因此光走的路程

减去车厢走的路程

正好等于车厢的长度

于是就可以计算出t2-t1了

等于l除以c-u

跟我们刚才结果是一样

然后我们再讨论

它反射到跟这个面接收

这就相当于光向这么走

车厢这么走

两个共同走的路程长度是l

于是c乘以时间间隔

加上u乘以时间间隔

正好等于车厢的长度

于是可以测量出t3-t2

就是从这个到这儿

它所需要的时间

那么你要求的是t3-t1

于是等于t3-t2加上t2-t1

结果是这个结果

这样的话

就用运动学的办法

来计算出时间间隔来

下面要求一下空间间隔

就是

事件1跟事件2的空间间隔

大家想象一下

我事件1是发光

事件2是光到达了反射面

所以这两个之间的距离

就是光在这段时间内

走的路程

所以它应该等于

c乘以这段时间的时间间隔

那么就是两个事件的

空间间隔

x3-x1是什么情况呢

就是我这儿发出光来

然后光反射

然后到达了车厢

相当于在这段时间里

车厢往前走的距离

所以它等于u乘以t3-t1

等于这个结果

所以这样的办法

就完全是由于运动学的方法

所以在狭义相对论里边

我们也可以在一个参考系里面

用运动学的方法

来计算任何的运动学问题

但是一个前提条件

就把所有的时间

空间和距离

都换成你这个参考系的

才可以进行

注意原长与动长

原时与非原时的关系的应用

动长是等于原长除以γ

原时和非原时的关系

就是非原时

等于γ乘以原时

这样的关系

注意这个关系的应用

下面说明一下

测量与观看的区别

在我们前面讨论的

所有问题里面

都是就地测量

所以不是人眼看到的图象

人看到的图象

必须是我物体发的光

同时到眼睛

视网膜上呈的像

所以就地测量

跟人眼的观察是不一样的

我们看一个问题

就可以知道了

大家看

这是一个边长为a的

一个正方体

这是地面

它紧贴着地面

以v沿着x轴匀速运动

我们现在

在地面参考系里面讨论

它看到的正方体是什么样

如果看测量的时候

我们会知道

在地面参考系来测量

它的这个长度是不变的

这个长度缩短 对吧

这是在地面参考系进行测量

但不是看到

看到必须是同时

接收到的光线呈的图样

大家看我假设

在地面上放了一个底片

这个正面体

所有的各个点都发光

发光的光线在底片上

呈的图像

就可以模拟我们看到的图像

那么现在这个正方体

到达这个位置

然后我让底片暴光

于是在这一时刻

我到达底片上的所有的光线

就成了一个图像

那么大家看

这正方体到达这个位置

因为它紧贴地面

所以它下表面

所有点我们都是说

假想它竖直向下发光

于是下底面所有的光线

都同时到达底片上

所以这底片上

是有下底面这些各点发的光

在这里呈的图像

再看侧面

侧面各点也发光

但是比如说这点

这一点在它到达这的时候发光

在底片上不会有的

因为它从这儿到这儿

需要一个时间

那么这个时候

我已经暴光结束

所以这一点发的光

不会再底片上成像

哪一点才能够在底片成像呢

当你这个正方体

在这个位置的时候

这个点发的光

它到达底片上

正好跟我暴光的时间相符

这个点发的光

就在底片上暴光了

所以

这个点在这个顶点

在这个位置发的光

才可以在这儿成像

那么这个距离等于多少呢

这个距离是b

那么我正方体运动的速度

乘以光线从这儿到这儿的时间

就是这个的长度

所以这个长度等于多少呢

我们来看一下

b除以v

就是这个

它从这儿到这儿

运动所需要的时间

等于a除以c

就是光线从这儿到这儿

所需要的时间

所以b除以v等于a除以c

于是就得到了

b等于a乘以tanθ

就是这个tanθ

所以tanθ就等于v除c

所以b除以a

就等于v除以c

然后tanθ就等于v除c

这样我们就看到

这一点它发的光

也可以在底面上成像

跟这个同时成像

所以你在这个情况

这个时刻

当正方体到达这个位置时刻

你看到的

不仅是底面上的图像

而且还有侧面上

这些点发的光的图像

就是从这儿开始

所有这些点侧面上的点

图像你都接收到了

所以这就是我们看到的

跟我的实际的观测的不一样

这就是我看到的情况

那么BC我们知道

它是动长

所以BC还要缩短

缩短是原来这个A

这个长度A

乘以根号下1减v方比c方倍

所以这个长度要缩短

所以你看到的

是缩短的这个长度

以及这个长度

在这儿暴的光

所以看到的跟测量的结果

是不一样的

我们看

这样的话

你暴光的结果

相当于谁呢

相当于把正方体

转一个角度

你在从底下往上看的结果是一样的

转多少角度呢α

等于阿哥（音）sin（v/c）

这样的话转这个角度

这个长度

恰好等于缩短之后

这个A缩短之后的动长

然后在这儿看到的

正好是B

所以你真正看到的

就是一个立方体

转一个角度之后

你看到的图像

跟你在运动过程中看的图像

是一致的