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第五

我们讨论一下简谐振动

首先看什么是简谐振动

物理量跟时间t

是一个余弦函数

或者正弦函数关系的话

我们就称该物理量

做简谐振动

规定我们取余弦的形式

那么这个简谐振动的

三角函数的表达形式

就是x(t)=Acos(ωt+ф)

那么ω=2πν

ν是它的振动频率

等于2π除以周期

这就是它的圆频率

它的特征量

一个是圆频率

一个是振幅

振幅要大于等于零

还有一个初位相ф

是在-π到π之间

大家看振动曲线

振动曲线

就把这个函数关系

用一条曲线来描述

横轴是时间

纵轴是它的位移x

于是这条曲线

就一条余弦曲线

那么这一点

曲线跟x轴的交点

就是它的初始的位移

这个最高点 最低点

这点是振幅A

这是-A

离它最近的峰值点

对应的时间叫t0

那么我们可以从这条振动曲线

可以得出

我们这个简谐振动的所有的

所需要看到的物理量

比如说刚才说x0

t=0的时候

它的位移是x0

然后它的周期

就是在振动曲线上

两个相邻的

振动形式之间的

这个时间长度

就是它的周期

那么也可以知道

这点的运动方向

在这个位置的时候

它的运动方向是向下的

这个方向也是向下的

然后到这儿向上

就是所谓向下

就是向-x方向运动

所谓向上就向+x方向运动

所以可以振动曲线来判断

它的振动方向

是向+x方向

还是向-x方向

然后我们还可以判断谁呢

判断它的ф是多少

那么A,T都给了ф

等于多少呢

ф=-ωt0

咱们刚才说的

离它最近的峰值点它

所对应的时间

运动方向

也可以从那个振动曲线上

判断出来

因为这是峰值点

所以它这个地方它的

总的ωt0+ф应该等于零

所以ф就等于-ωt0

所以就是我们说

振动曲线给出了

所有的形式

它所有的物理量

所有的特征量

因此我们表达一个简谐振动

可以用它的三角函数表示法

x=Acos(ωt+ф)

或者用振动曲线来表示

下面我们说位相Ψ

Ψ是简谐振动最重要的参量

大家知道

我们虽然写成Acos(ωt+ф)

实际上我们最关注的

是它的振动的状态

它是处于什么状态

是到了峰值还是到了谷值

还是到了某一个位置

这些个状态都由位相给出

定义

简谐振动的位相Ψ(t)就是ωt+ф

小写的ф

就是Ψ0叫初位相

就是位相在t=0的时候

等于ф

所以它叫初位相

x(t)就是它的振动函数

可以写成AcosΨ(t)

所以给出你位相

我就知道

它现在在振动曲线里面

它处于什么位置

所以位相是简谐振动

最重要的参量

简谐振动的振动状态

取决于位相

而两个简谐振动

它之间的差别

也由位相决定

这是第一个简谐振动

x1=A1cosΨ1

x2=A2cosΨ2

那么这个位相

第一个振动的位相

就是ω1t+ф1

第二个振动的位相

就是Ψ2=ω2t+ф2

于是

位相差就是

两个简谐振动的位相之差

那么就等于(ω2-ω1)t

加上(ф2-ф1)

对于同频的情况下

ω1=ω2的情况下

这一项是零

所以它的位相差

就等于ф2-ф1

就等于初位相之差

同频的两个振动位相差

是很重要的

同一个振动状态谁先达到

怎么样呢

为了判断这个超前落后

我们定义Δф

它不是直接等于ф2-ф1

它等于ф2-ф1±2π

加减2π的目的是个什么目的呢

要使得Δф在-π到π之间

大家知道

我们刚才定义初位相

初位相的这个范围

是从-π到π之间

这样的话两个ф一减

它的范围应该就是

-2π到2π之间 对吧

现在我要把它限制在

-π到π之间

怎么办呢

我就要加减一个2π

如果它超出了刚才这个范围

加一个2π或者减一个2π

使它回到这个范围内

我如果是这么定义的话

就可以讨论它超前落后了

如果Δф大于零

就说x2超前x1

超前多少呢Δф

如果Δф小于零

就说x2落后x1Δф

的绝对值

我们以后会更直观的

看到它的位相差

以及它超前落后

我们现在先把

这个结果先说出来

这样的话呢

我们就有两种表示

简谐振动的方法

一个是三角函数表示法

一个是振动曲线表示法

现在给出我们第三种情况

振幅矢量图表示法

如何用振幅矢量图来表示呢

我们知道

我们那个简谐振动

x=Acos(ωt+ф)

A是振幅

它本来是个标量

现在我定义A是个几何矢量

所以把这个振幅

变成一个振幅矢量

这是一个几何矢量

几何矢量以原点作为它的起点

这样的话有个振幅矢量

然后振幅矢量以ω

咱们这里不有一个

简谐振动里有一个圆频率ω嘛

就让这个振幅矢量

以ω做一个匀速率的

逆时针的运动

那么这样的话

这个A在x轴投影

就是它的简谐振动

这样的话

表示叫振幅矢量图

咱们看一个具体的

振幅矢量图

大家看我先选一个Ox轴

然后把振幅矢量

它的起点放在原点上

这是一个几何矢量

放在原点上

然后让它以ω

做一个匀速率的圆周运动

让它在t时刻

这个振幅矢量

和这个x轴的夹角

恰好等于它的Ψ

等于它的位相

t=0的时候

这个振幅矢量跟x轴夹角

等于它的初位相

这样的话

在t时刻

这个振幅矢量

在x轴上投影

就是它的振动

那么这就是振幅矢量图

大家看

我这个A跟它的夹角是Ψ

于是它在这上的投影

等于多少呢

就是AcosΨ

所以正好就是它的振动

就是它的位移函数

振动函数

所以就是这种对应关系

那么这个振幅矢量图

它可以把位相 角速度

初位相 振幅

以及它的运动方向

都直观的表示出来

所以振幅矢量图

具有很大的优越性

特别是在比较两个振动

和两个振动的合成

更有作用

所以它是非常重要的

一种表示方法

那么如果我们是

多个简谐振动的话

那么这个简谐振动

就用它的初位相

来表示这个位置

那么它在t时刻的位置

就脑子里想象

它转到了Ψ的t时刻位置

具体表示呢

就是用它t=0时刻的位置

来表示这个振幅矢量

现在看一个例子

一个简谐振动x1

它的振幅矢量是A1

已知x0

就是t=0时候它的位置

是-A1/2

而且知道这个时候

它的速度是小于零的

运动速度小于零的

我们下面由振幅矢量图

来求ф1

那么这个它写成振动函数

应该是这个形式

A1cos(ωt+ф1)

要把ф1求出来

大家看这就是振幅矢量图

现在已知是什么呢

在初始的情况下

x0=-A1/2

-A1/2

所以x0在这儿

这样的话我做一个垂线

对应的有两个振幅矢量的可能

一个是这个方向的振幅矢量

一个是这方向振幅矢量

这个振幅矢量对应的ф

是正的2π/3

这个振幅矢量对应的

是-2π/3

正的还是负的呢

由第二个条件

它t=0的时候

它的速度是小于零的

大家看

在t=0的时候

如果在这个位置

它继续这么转

它的运动方向是这个方向

对不对

如果是这个振幅矢量

在这个位置的时候

它转动起来以后

它的运动方向是正的

这个运动方向才是负的

所以只有这个情况是对的

因此我们判断

它应该是

这个ф1=2π/3

这个我就由振幅矢量图

把ф1求出来了

下面我们来讨论两个简谐振动

x1跟x2的位相关系

以及谁超前谁落后

大家看

这是第一个振幅矢量

对应着第一个简谐振动x1

它的初位相

是正的2π/3

这个是第二个简谐振动的

振幅矢量

它对应的初位相

是-2π/3

现在它们都逆时针方向旋转

那么大家看

比如说同样一个振动状态

谁先达到呢

谁先达到这个位置呢

显然这个先达到

这个是后达到

因此我们看到是

x2超前x1

那么超前多少呢

就是它的夹角

夹角是多少呢

是2π/3

所以由图就知道

x2这个简谐振动

超前它2π/3

那么两个简谐振动超前落后

是以π为单位

大家看这情况

我们现在知道x2超前x1

对吧

如果它继续

这个x2现在变到这个位置

还是它超前

但是超前

就比2π/3还多了

继续假如x2在这儿

还是x2超前

一直到什么程度呢

一直到x2是这个位置的时候

大家看

就不能判断出

谁超前谁落后了

所以超前落后

是以π为单位的

是以π为界限的

到了真正的夹角

它的位相差为π的时候

就没办法判断了

所以超前落后以π为界

当x2到了这个位置的时候

那谁超前谁落后呢

是x1超前了

所以到了这个位置没办法判断

只要它再往前

就是x1超前了

所以超前落后

是以π为界

所以大家看

这就是振幅矢量图的优越性

它可以直观的给出

这两个简谐振动的

之间的位相关系

可以直接判断

谁超前谁落后

我们按定义来计算

就是我们前面讨论了

超前落后

用Δф来判断Δф

等于ф2-ф1±2π

咱们看那个判断方法跟

这个判断结论对不对

咱们刚才由振幅矢量图判断

是x2超前x1落后

x2超前x1 2π/3

我们现在按定义来计算Δф

等于ф2-ф1±2π

ф2是-2π/3

ф1是正的2π/3

所以是-2π/3

减去2π/3

大家一看

加起来是4π/3

超出了-π到π之间

于是又加上2π

加上2π之后

变成了正的2π/3

因此我们看

ф2-ф1等于Δф

是大于零的

说明x2超前x1

超前多少呢

超前2π/3

跟我们刚才的讨论完全一致

说明我们刚才那种定义

是有道理的

下面我们讨论一下

位移函数

速度函数

加速度函数的位相关系

假设x=Acos(ωt+ф)

它的速度函数

等于-ωAsin(ωt+ф)

那么这时候

能不能说它的位相就是ф呢

绝对不能

为什么呢

我们必须把它写成

标准形式

什么标准形式呢

就是它前边必须是正的

而且一定写成cos余弦形式

这里边的才叫初位相

所以首先要写成正的ωA的形式

而且要把sin换成cos

那么用三角函数的关系

就写成ωAcos(ωt+ф+π/2)

所以速度函数

求导出是这个结果

我们写成标准形式

是这个形式

到了这个形式

这个才是速度函数的初位相

大家一看就知道

速度函数初位相比它超前

超前π/2

类似

我们可以得到加速度函数

加速度函数

是速度函数的导数

是这个形式

我们又可以写成标准形式

ω^2 Acos(ωt+ф+π)

所以加速度函数

超前速度函数π/2

速度函数超前振动函数

π/2

这样的话

我们就发现一个规律

一个简谐振动微分一次

那么微分一次以后

得到的还是个简谐函数

这个简谐函数

超前原函数π/2

这就是一个重要的规律

超前表现为振动曲线的向左移

这个我们不多说了

下面我们看一下

这个简谐振动的

复数表示法

大家看这是一个复平面

我们复习一下复数的概念

复数有虚数单位i

等于根号-1

这是复平面

横轴是x 纵轴是y

那么一个复数

z(x,y)=x+iy

对应着复平面上一点

从原点引到这个r

叫做模

这个叫做幅角

于是x=rcosф

y=rsinф

就可以写成这个形式

这个形式

又可以写成指数形式

rexp(iф)

还记得我们在给大家

介绍微积分的时候

先做一个台劳展开

在台劳展开里面

证明了什么

欧拉公式

就是这个

exp(iф)=cosф+isinф

所以那时候

着重的给大家介绍了

欧拉公式就用在这儿了

就是我把r提出来

这里边是cosф+isinф

直接就写成exp(iф)

这就是著名的欧拉公式

把一个指数函数

跟一个复数联系起来了

其中

我这个复数z的实部是x

复数z的虚部是y

它的模是r

幅角是ф

我们复数做一个简单的回顾

简谐振动

是这样一个三角函数

于是它可以写成一个复数

写成什么复数呢

大家看

写成一个Aexp[i(ωt+ф)]

大家看这就是一个复数

这个复数的实部

就是我的简谐振动

所以简谐振动

可以写成一个复数的实部

那么或者写成

这个z的实部

另外

我们还可以把

这个简谐振动

写成一个复数形式

就是直接把这个复数

叫做这个简谐振动的

复数形式

我们加一个星号表示

它是一个复数

那么这个简谐振动的

复数形式的实部

就是我们真正的简谐振动

那么复数形式

加减微积分之后

再取实部

就是原来的简谐函数

加减微积分

这是一个很重要的一个结论

有了这个结论

我们以后的一些个

简谐振动的计算

就可以用它的复数形式来做

就简化了很多

我们看举个例子

比如说

简谐振动

等于Acos(ωt+ф)

写成AcosΨ

我们看它的导数

对时间导数等于多少呢

对时间导数等于

-ωAsin(ωt+ф)

这是我们看

一个真正的简谐振动

它对时间的导数

是这个结果

现在我把这个简谐振动

写成复数的形式

复数形式就是Aexp[i(ωt+ф)]

我对这个复数对t来求导

大家知道

这个e的导数非常简单

exp(x)的导数就是exp(x)

非常简单

所以对它求导

等于多少呢

就等于iωAexp[i(ωt+ф)]

所以对它求导非常简单

就把它的系数下来就可以了

那么

这个把它写成复数的形式

就是iωA

这个是写成cosΨ

就是这个里边ωt+ф

相当于Ψ

这是iΨ

变成了cosΨ+isinΨ

你把这个乘进去

我们来看一下

把这个乘进去

这个就是iωAcosΨ

这是复数的虚部

i乘以它

变成了-ω^2 AsinΨ

这才是这个的实部

于是

我把这个导数的取实部

就等于-ωAsinΨ

就等于我刚才计算的结果

所以一模一样

也就是说

我想计算一个简谐振动的导数

我可以怎么样呢

先对它复数形式求导

求导之后再取实部

就是我的计算结果

这样的话

我们的计算就简单的多

这个部分就讨论到这里