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Video课程教案、知识点、字幕

下面我们介绍一下

四维矢量

这个更是介绍了

大家听一听就可以了

四维矢量

经典力学空间

是三维欧几里德空间

所以它最基本的矢量是矢径

坐标矢量

那么欧几里德空间中

定义了长度

就是1 2两点之间的距离

那么我们有这个

什么样关系呢

就是这两点之间距离

等于它的矢径的增量的点积

或者叫位移的点积

这就是我们在

经典力学里面

三维的欧几里德空间里面

我们看到的结果

它的位置矢量的点积

是两点之间的距离

我们现在狭义相对论是四维时空

闵可夫斯基空间

所以它应该是四维矢量

而这个空间的长度

就是时空的间隔

或者叫线元

那么这个线元的平方

它是等于c方Δt平方-Δl平方

当中是负号

因此呢

如果你取一个四维矢量的话

这四维矢量的点积

要出现负号

两个的点积要想出现负号

那么它一定有个分量

应该是虚数

所以我们看

四维矢量的话

它应该是出现虚数的

我们现在看第一个

最基本的四维坐标矢量

我们用r4来表示

这个重体字r表示是个矢量

角标4表示是四维矢量

就是四维的坐标矢量

采用正交坐标系

也就是它的点积

应该是等于它的

时空间隔的平方

利用一下

我们最常用的一个系数

就是β等于u/c

u就是S′系运动的速度

除以c就是β

这是我们狭义相对论里面

最常用的一个符号之一

那么定义四维矢量

就是x y z

第四分量是个虚数ict

于是前边三个

记作我的三维的矢量r

最后一个

写作一个第四分量

大写的R

于是四维的坐标矢量

等于三维的坐标矢量

然后第四分量是ict

写作大写的R

它的变换

我们都知道是这个变换关系

这个变换关系

我把这R引进来

于是就不再是这个形式了

开始写成什么形式呢

写成x+iβR

如果你把R等于ict代进去

它结果就是这个结果

但是

我们写成四矢量形式的时候

我们不写成ut

因为t不是我的第四分量

第四分量是大写的R

所以它变化

应该是x+iβR

然后y′等于y z′等于z

最后就是第四分量的变换

R′等于ict′

最后结果

等于γ（R-iβx）

所以跟我前边洛仑兹变换很类似

但是这里引入了β

引入了虚数i

那么上边这个是iβR

下边这个是负的iβx

这就是我们四矢量

在洛仑兹变换下的变换

就是这个情况

那么我现在把这两个点积一下

就Δr4点上Δr4

结果等于是负的Δs平方

确实是我们的时空间隔的平方

所以它这点积是合理的

矢量点积是标量

就是坐标变换不变量

看四维速度矢量u4

那么矢量乘或者除一个标量

应该还是矢量

但是dt不是坐标变换不变量

它不是标量

真正的坐标变换不变量

是原时dτ是变量

它是坐标变换不变量

因此四维的速度矢量

应该是dr4/dτ

不能是dr4/dt

所以我们定义

四维速度矢量u4等于dr4

这个r4是我们的

坐标四矢量

它对τ求导

dτ它是一个坐标变换不变量

是一个标量

所以它除它

仍然是矢量

所以不能除dt

一定要除dτ

我们把它写作

一个三维的速度的矢量

再加上一个

第四分量大写的U

那么这就是一个三维的

矢径矢量

它对τ的导数

这是第四分量

对τ的导数

那么它对它的导数

并不是我真实的速度

所以我真实的速度

应该是它对t的导数

那么dτ跟dt是这个关系

是我们前边说过

我的原时跟非原时

是这个关系

把这个式子

我记作γv分之一

我引入一个新的符号

我们前边的γ

统统都是表示S′系

跟S系之间的一个函数关系

什么关系呢

S′系相对S系的速度是u

那么γ等于1-u方除以c方的

负二分之一次方

这里是u

现在我把u换成v

同样一个函数关系

只是把u换成v

于是我把这个式子

这个函数关系记作γ

但是加个脚标v

就是说

它跟我γ是同样函数关系

但把里边的u换成了v

所以我把它写成γv

于是dτ就等于dt/γv

代到这式子里面来

于是U4就等于γv乘以

这个时候应该是

这就不再对τ求导了

是对t求导

对t求导

就是真正的速度

这个是第四分量对t的导数

对t的导数我们都加一点

所以这是真正的v

那么这个分量是ict

ict对t求导就等于ic

所以这是ic

于是这个就是

γv乘以v就是u

γv乘以ic就是大写的U

于是我们现在U4

就和真实的速度

建立起这样的关系

这就是我们的

四维的速度矢量

本来到此就可以结束

但是我们还希望通过这个式子

推导出真正的速度的变换

所以我们下面

还继续的做一些推导

这是真实的速度

那么这是U4

是在S参照系里面的

四维的速度矢量

这是S′系的四维的速度矢量

注意这就不是γv了

是γv′了

因为在S′系里面

它的速度是v′

于是这个是v′

这个是ic

我们现在就用这两个式子

来推导出什么呢

推导出真实的速度

它的坐标变换

那么我们来看

我的这个刚才咱们说了

这个由四维的坐标矢量的变换

做到了四维矢量

它的变换什么关系呢

这一项是iβ第四分量

于是us′

咱们刚才那us′

就等于是γ（ux+iβ第四分量）

所以套用了前边的公式

那么γ乘以ux

ux等于γv乘以vx

这个u等于是γv乘以c

所以就变成了γ乘以γv

vx减去βc

u是等于γvic

所以代进来

把γv提出去

这就等于是减去βc

然后它等于γv′vx′

于是vx′跟vx

就有一定关系了

什么关系呢

就是vx′

等于γ乘以γv除以γv′

你把γv′除过去

那么这一项

就变到了vx减u

所以就vx减u

所以vx′跟vx

就有这样的关系

而这个关系

我们还可以简化

简化什么呢

注意我们前边有个恒等式

在讨论相对论质量的时候有恒等式

就是γ乘以1-uvx/c^2

等于谁呢

等于1-v′平方/c方的

负二分之一次方

除以1-v方除以c方

的负二分之一次方

这个就是γv′

这就是γv

所以γ乘以这个

等于γv′除以γv

所以把这个都乘过来

整理一下

就是γ乘以γv

除以γv′

等于1除以1-uvx/c方

γv除以γv′

等于γ（1-uvx/c^2）分之一

由这个式子

代到这式子里面来

于是vx′就等于vx-u

除以1-uvx/c^2

就得到了vx′的变换

那么我们下面看一下

y分量

y分量的话是uy′等于γvy′

就等于uy

因为这个是

它的分量是相同的

变换是相同的

也就是说uy等于γv乘以vy

于是vy′

vy′等于γv乘以vy除以γv′

咱们看γv除以γv′

等于这一项

所以vy′

等于vy除以γ（1-uvx/c^2）

类似

我们可以得到vz′

也是这样类似的关系

所以

我们就从前边的

四维速度矢量

得到了真实的

三维的速度矢量的

变换关系

这个大家看一看就可以了

我们再看它俩要点积

u4点u4等于多少呢

整理一下

最后结果等于负的c方

所以它也是个标量

我们最后看一下

四维动量矢量P4

m0是标量

所以m0乘以u4是四维矢量

就定义做谁呢

四维的动量

所以定义四维动量矢量

是等于m0乘以u4

m0乘以u4

u4是我们前面写了

就是m0这个是三维的矢量

第四矢量是u

u4等于γv

里边真实的速度矢量

第四分量是ic

把这个结果代进去

于是P4就等于m0γv

然后里边是速度

然后第四分量是ic

m0乘以γv

正好就是相对论的质量

这是等于相对论质量乘以它

乘以这个括号

那么它乘以它

就是相对论的动量

m乘以ic

m写作E除以c方

就变成了iE/c

所以我们看到

四维的动量矢量

最后可以写成谁呢

写成三维的动量矢量

第四分量iE/c

所以有了这个关系式

我们直接

可以用到什么呢

用到它的四维矢量的变化

于是

四维矢量的变换立刻就出来了

这是x分量

就是γpx+iβ乘以P

P就是这一项

这样就是这个结果

然后Py′等于Py

Pz′等于Pz

最后就是我们这个

关于能量的变换

能量的变换

P′等于iE′/c

等于γ（P-iβpx）

然后整理一下

最后结果

就得到这个结果

就是我的能量

的变换关系也出来了

于是我由动量四矢量

就得到了

真正的真实的动量

和能量的四维的变换

那么p4点上p4

等于谁呢

等于是p方-E方/c方

它等于m0平方u4点上u4

u4点u4咱们刚才说了

它等于负的c方

所以p4点p4

等于负的m0平方c的平方

它两个直接点积

又等于p方-E方/c方

于是大家看

这个式子

就是我们前边得到的

能量动量关系

通过这个

就在这里得到了

好这部分呢

就介绍完了

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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