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Video课程教案、知识点、字幕

下面我们讨论一下矢量的乘法

矢量的乘法有很多种

我们先讨论第一种

标量与矢量的乘积

标量就是一个实数

就是实数和矢量的乘积

实数与矢量的乘积

仍然是矢量

k乘A k是一个实数

A是个矢量

k乘A等于矢量B

那么我们怎么规定B的大小呢

B的大小

就是B的模

等于k的绝对值乘A的模

这是它的大小

方向如果k大于零

B就跟A同向

如果k小于零

B就跟A反向

所以呢

我们就定义了它的大小跟方向

我们可以很简单的就可以验证

这样得到的B

也有三角形的加法法则

所以数乘矢量结果还是个矢量

所以B也是个矢量

a加b乘以A

等于a乘A加上b乘A

这是一种分配率

一种特殊的表示

我A矢量可以写成谁呢

写成它的模乘以它的单位矢量A

所以任何一个矢量

都可以写成

模乘以它的单位矢量

单位矢量跟它的方向一致

只是大小是1

这就是A的矢量的单位矢量

我们有了矢量的分解

以及数乘矢量的运算

我们就可以把矢量

用一个解析的形式描述出来

下面我们来讨论

怎么样用解析的形式

描述一个矢量

首先建立一个坐标系Oxyz

我们现在学习了矢量的性质

我们就知道

建立一个坐标系

它的两个要素是什么

第一个要素

选择它的坐标系的原点

第二个要素

就是选择坐标系的单位矢量

像直角坐标系

就有三个单位矢量x y z

有了原点

再加上三个单位矢量

就构建出整个的坐标系

所以建立坐标系

是需要指定原点以及单位矢量

直角坐标系

就是由原点O

x y z三个单位矢量建立起来的

我们建立坐标系之后

就可以把这个任意矢量A

按这三个坐标轴的方向分解

分解成Ax Ay Az

所以矢量A

沿着三个单位矢量方向分解

分解成什么呢

三个分矢量

x方向的分矢量

y方向分矢量

z方向分矢量

这就是它

先是分解

分解完之后我们再来看

x方向的分矢量

它的单位矢量是x

所以这个分矢量

就可以写成

Ax乘它的单位矢量x

那么这个Ax

就叫做A矢量在x轴上投影

就是投影Ax

注意这是一个实数

有正负

如果Ax分量

与x单位矢量方向相同

Ax是正的

如果它的方向

跟这个单位矢量方向相反

它就是负的

所以投影有正负

于是这个分矢量

就可以写成投影乘以x的形式

这个分矢量

同样写成投影乘以y的形式

这个分矢量

同样可以写成

Az乘以它的形式

从A写到这一步

就叫做A矢量的解析表示

就是A矢量

表示成它的投影的这个组合

就是分矢量的和

或者是投影的组合

这个形式

还可以简写成这个形式

就是把这个单位矢量不写

用个括号写Ax Ay Az

这个形式

也是一个矢量形式

叫什么矢量形式呢

叫行矢量

行是行列式的行

所以这叫行矢量

所以A矢量的解析表示

既可以写成这种形式

也可以写成这种形式

这都是它的解析表示

解析表示

是我们矢量的各种运算的基础

所以各种运算

最后都要写成

解析形式的表示

所以它是非常重要的

在正交坐标系情况下

咱们直角坐标系就是正交坐标系

那么矢量的模

就可以是等于

三个投影的平方和

再开方

就等于根号下

Ax平方加Ay方向Az方

这是我们由它的投影

来计算矢量的模

加法数乘的解析形式

我们前面已经讲了

它的两种运算

一种加法运算

一种是数乘矢量的运算

都可以写成解析形式

大家看A加减B

A可以形成它的三个投影

B也可以形成三个投影

Bx By Bz

A跟B相加

就是两个投影相加

两个投影相加

两个投影相加

就是我们的这个相加

于是A加B或者A减B

就等于它的

三个投影的相加减

这就是它加法的这个解析形式

我们再看

拿一个数去乘一个矢量

它的解析形式如何呢

B等于k

这个实数乘以A

A可以表示成一个解析形式

那么它的乘积的结果

解析形式

就把k分别乘到

三个投影里面去

最后结果就是等于

三个投影分别乘以k

就是我的数乘的

解析表达形式

我们讨论了矢量的解析形式

以及数乘和加法的解析运算

下面我们讨论

两个矢量的乘积

第一种就是两个矢量的点积

又称为标积

因为它的结果是一个标量

这是A矢量

这是B矢量

两个A矢量跟B矢量点积

定义做

A矢量的模乘以B矢量

乘以两个矢量夹角的余弦

我们来看

这个A乘以cosθ

A乘以cosθ是这个量

这个量

就是A矢量在B上面的投影

我们写作AB

角标B表示

A矢量在B上的投影

类似B矢量在A矢量的投影

是B乘以cosθ

写作BA

这样的话

这个A跟B的点积

又可以写成

A在B上的投影乘以B

或者A乘以B在A上的投影

这都是同样的点积

这是矢量的点积

我们再来看看矢量点积的性质

A矢量点上B矢量

等于B矢量点上A矢量

说明点积满足交换律

A点上B加C

B加C加起来以后是一个矢量

所以它仍然是一个标积

A点上B加C

等于A点B加A点C

这是分配律

所以矢量点积

满足交换律和分配律

我们看个例子

假如A跟B的方向相同

那么A点B

就等于A的模乘以B的模乘以cos0

因为夹角0

cos0是1

所以它就等于A乘B

也就是两个矢量

如果方向相同的话

它的点积就是它的模的乘积

比如说A点A

A跟A当然是方向相同了

所以结果就A平方

直角坐标系

它的三个单位矢量

自己的点积

都是两个的模的乘积

单位矢量的模是1

所以它乘起来点积结果就是1

因此x点x y点y z点z都是1

这个我们要记住

这是常用的结果

如果A垂直于B

那么夹角是二分之π

cos(π/2)是0

所以两个矢量如果互相垂直的话

A点B就是0

因此

我们要想判断或者了解

这个两个矢量是不是垂直

就看它的点积

如果点积是0

这两个矢量就是垂直的

正交直角坐标系

那么它的三个单位矢量

都是互相垂直的

所以x点y等于y点z

等于z点x 都是0

那么我们这个任意一个矢量

在x上投影

它会等于谁呢

就等于这个矢量

跟x方向的单位矢量点积

Ay是A点上y

Az等于A点z

道理在什么地方呢

大家看

这是A矢量点上x

A矢量是Axx Ayy Azz

点上x

用乘法的点积的分配律

等于三个分矢量

分别跟它点积

Axx点上x

x点x是1

所以它结果就是Ax

然后Ayy点上x的时候

y点x是0

所以这项点积是0

这项点积也是0

所以它点完以后就是Ax

所以Ax就等于A点上x

类似Ay等于A点y

Az等于A点z

这是我们的一个

求这个投影的一种方法

你想求它在直角坐标系里的投影

就拿矢量点上这个单位矢量

它就是这个矢量

在这个方向上的投影

思考一下

如果是非正交坐标系的话

Ax还等于不等于A点上x呢

就是如果这是非正交坐标系的话

这大家自己回去思考一下

矢量点积的解析形式

我们因为大家知道

以后我们的矢量的运算

大部分都用解析形式运算

所以每一种的运算

都要写上解析形式

A点B就等于

AxBx加AyBy加AzBz

就是两个矢量的点积

等于它三个投影乘积的和

这也很简单

A点B这是A矢量点上B矢量

你分别用它去点这三项

只有这两个的点积不是0

其他都是0

结果就是Ax Bx

拿这一项点上这三项

只有它点它是AyBy

其他都是0

所以最后结果

A点B就等于三个投影的乘积的和

我们看一个例子

假设A矢量是x加2y加2z

还有一个B矢量

是2x减3y加6z

第一个

我们要求两个矢量之间的夹角

第二个要求A在B上的投影AB

我们来计算一下

首先要计算A矢量的模

因为它是直角坐标系

所以A矢量的模

就是三个投影的平方和再开方

结果等于3

B也是它三个投影的平方和

再开方等于7

下面我们想求两个之间的夹角

两个矢量夹角

我们知道A点B

等于AB乘以cosθ

所以cosθ就等于A点B除以AB

我们来算一下A点B

这大家要认真的计算

A点B

就是两个矢量的投影乘积之和

这个矢量是这个

这个矢量是这个

所以它点它

就等于Ax乘以Bx 这是2

Ay乘以By是-6

Az乘以Bz是-12

这就是

AxBx AyBy AzBz之和

然后这就是A点B

再除以谁呢除以A乘B

结果是-16/21

cosθ是负的

表示θ角在第二象限

结果是139.63度

我们再求A在B上的投影

我们刚才说A乘以B

等于A在B投影乘以B

于是A在B上投影

等于A点B除以B

A点B已经有了是它

再除以B B是这个7

结果是-16/7

这是两个矢量的一种运算

就是两个矢量的点积

下面呢

我们要介绍一种更复杂的运算

两个矢量的运算

叫两个矢量的叉积

又叫两个矢量的矢积

因为叉积得到的

是一个矢量

所以矢量的叉积是矢量

大家看

这是A矢量

这是B矢量

我们定义C等于A×B

于是我们还要定义C的大小

C的大小等于A×B的模

那么A×B的模等于多少呢

A×B的模等于是

A的模乘以B的模

乘以夹角的正弦

所以我们定义C的大小

等于就是A×B的大小

等于AB乘以sinθ

正好跟我们的点积

是互相补充的

点积的大小

是A乘B乘cosθ

这个叉积的大小

等于A乘B乘sinθ

所以正好是在这个上

一个是sin 一个cos

这是这个叉积之后

得这个量的大小

我们的定义

叉积得的这个量它的方向

这个量是有方向的

它方向如何呢

我们定义这个量C

垂直于AB形成的平面

我们知道两个矢量

可以构成一个平面

C是垂直于这个平面的

但是一个平面

它的方向有两个

垂直方向有两个

一个向上一个向下

它是哪个方向呢

它的方向跟AB成右手关系

什么叫AB成右手关系呢

就是我先把手放在A的方向上

然后转到这个B的方向上

于是大拇指的方向

就叫它的右手关系

所以在图示的A×B

它的方向应该是这个方向

反过来如果B×A

就把手先放在B的方向

再回到A的方向

于是它应该是反方向

所以从这里我们就可以看出

A×B跟B×A

它的方向正好相反

于是我A×B得这个量

既有大小的含义

也有方向的含义

但是我们还要证明或者验证

这样得到的这个C

还要满足一个三角形加法

这个讨论比较麻烦

我们就不在这里讨论了

教材上有

大家有兴趣可以从教材上看一下

总之可以验证这样得到的C

还有一个既有大小又有方向

还有一个满足三角形法则的加法

所以叉积出来这个量

就是矢量

所以我们叉积得到的是矢量

因此矢量的叉积

又叫做矢积

我们很多物理量

都有叉积的关系

比如说力矩等于矢径×力

比如说速度等于角速度×r

比如说洛伦兹力

电量为q的

运动速度为v的

在磁场中B中运动的这个电荷

受到的洛伦兹力

就等于qv×B

所以叉积是一个普遍的形式

而且叉积可以由已知的矢量

得到新的矢量

这是得到新的矢量的一种方法

面积矢量

叉积的几何意义

大家看

一个A跟一个B

以这两个几何矢量做临边

可以构成一个平行四边形

平行四边形的面积

就等于这个叉积的大小

所以A乘B的大小

正好等于这个

平行四边形的面积

然后我再给这个面积

定义一个方向

一个法线方向

什么是法线方向呢

正好跟它的叉积的方向相同

于是面积S等于A×B的大小

然后还有法线方向

跟A×B的方向相同

于是就可以定义一个矢量的面积

或者面积矢量

面积矢量

S 重体字指的是矢量

它等于谁呢

等于它的大小乘以它的法线方向

这就是面积矢量

它恰好等于A×B

我们知道A×B是矢量

所以你把这个量定义做一个矢量

是合理的

所以就证明了

我们这么定义的面积矢量

是合理的

因为它是叉积得到的

所以它确实是个矢量

这样的话

我们的叉积

就定义出来的一个面积矢量

这是它的几何意义

一个微小的几何矢量

就是这个

一个微小的dA

这儿有个微小的dB

一叉积也出来一个面积矢量

所以这就叫面积矢量的微元

或者叫元面积矢量

有了这样的办法

我们就可以定义一个

任意的面积的面积矢量

比如说一个平面的

一个平面的面积

随便一个

刚才讲的是平行四边形

由AB构成平行四边形

现在我随便找一个平面

然后选定一个法线方向

面积是S

S乘以它的法线方向

就称为这个平面面积的

面积矢量

所以任意一个平面面积

都可以定义面积矢量

如果一个曲面呢

不是平面怎么办呢

曲面上找一个微小的面积元

我们知道微小面积元

都可以看到做平面

可以看做谁呢

刚才这里边的微小的

矢量面积元

用两个叉积得到

所以我在这上

找一个微小的矢量面积元

它是矢量

矢量面积元积分

就得到了一个曲面的面积矢量

所以任意一个面积

都可以定义面积矢量

所以我们利用叉积

证明了面积矢量的存在

我们来看矢积的性质

一个性质就是A×B×C

等于A×B加A×C

这就是分配律

所以矢量的叉积满足分配律

A×B不等于B×A

所以矢量的叉积

不满足交换律

A×B等于-B×A

刚才我们已经说了

你这么一×和这么一×

正好方向相反大有相同

所以它正好是等于负的它

如果A跟B平行

它的叉积是0

因为它夹角是0

它大小应该是AB乘以sinθ

θ如果是0

它的叉积就是0

所以平行的矢量的叉积是0

然后A跟B如果垂直的话

A×B的大小

等于A的模乘B的模

等于AB

然后如果A×B的话

等于A×B垂直

这什么意思呢

大家看这是A矢量

这是B矢量

我把B矢量做一个分解

分解一个

和A方向相同的一个矢量

我叫B平行

就是跟A平行的分量

还有一个分量

在A的垂直方向上分解

这个叫B垂直

我A×B

就等于A×B平行加上B垂直

它俩的方向相同

A×B平行是0

所以A×B就等于A×B垂直

所以这也是我们根据这个性质

得到的一个结果

对于直角坐标系来说

假如这一个是xyz三个方向

x×y正好等于z方向

y×z正好等于x方向

z×x正好等于y方向

所以直角坐标系的三个单位矢量

互相叉积

分别是第三个矢量

第三个单位矢量

这就是直角坐标系

这样的话

我们给大家介绍了矢量的叉积

矢量的叉积仍然是个矢量

所以它的这个结果

是比较复杂的

我们再来看它的解析运算

就是把叉积

用它的投影来描述

投影的运算来描述

这个也比较复杂

我们来看一下

得什么结果呢

大家看

A×B

计算结果是AyBz减AzBy

然后乘以x

然后这个是它的三个分量

它不是叉积是个矢量吗

这个矢量的三个分量

是这个形式

得这个结果大家看

一会儿我们说是怎么得到的

我们自己用现在的知识

这个结果是可以计算出来的

当然复杂一点

一会儿要说一下

但是这个式子大家看

很难记忆

对吧很难记忆怎么办

我们把它写成行列式的形式

三行三列是三阶行列式

上边就是三个单位矢量x y z

第二行

你不是A×B吗

第二行就是A的三个分量

三个投影

最后你是B×上B

所以最后一个是B的三个投影

可以写成行列式

这行列式怎么计算呢

我用这行列式

就可以很容易的

把这个结果计算出来

可以记忆

怎么计算呢

这是三阶行列式

可以展开成二阶行列式

可以按它的第一行来展开

把x拿出来

x拿出来

作为它前边的一个单位矢量

然后它的系数得多少呢

我们看三阶行列式

我把这一行抹掉

把这一列抹掉

剩下Ay Az By Bz

剩下就是一个行列式

这个行列式就是二阶行列式

二阶行列式

就是这个x这个单位矢量的系数

二阶行列式可以直接算出来

大家看我这加一道

这是个二阶行列式

它得结果是什么呢

它等于它乘它减去它乘它

大家看

Ay乘以Bz

减去Az乘以By

于是x的系数就有了

我按它展开

把它放在这个上

它的系数

就这个二阶行列式的运算

我们再看第二个

大家注意

第二个拿出来的时候

要加个负号等于-y

它的系数把这一行抹掉

把这一列抹掉

剩下的是这个

它跟它构成的二阶行列式

它怎么算的

就是它乘它减去它乘它

你一解

最后结果就是这个式子

最后拿它放在这儿

它的系数

这个注意

这个可不加负号了

这是正的这是负的

这是正的

展开的时候

它的系数就把它抹掉它抹掉

剩下的这个二阶行列式

于是Ax乘以By

你看Ax乘以By减去AyBx

所以这么复杂的一个

叉积的一个结果

我用这个简单的三阶行列式

就可以把它表示出来

这就是我们说的

叉积的解析形式

那么怎么得到的结果

我们可以计算出来

A×B

等于A是这样一个解析形式×

上B这样解析形式

我就老老实实算

拿它去分别×上它

再拿它分别×上它

拿它分别×上它

结果就得到了我的结果

所以咱们这个结果

并不是现在知识不能解决的

我现在已知

就可以用这个办法

来得到这个结果

当然算起来比较麻烦

我们就再不计算了

这是两个矢量的乘法

下面我们介绍

三个矢量的乘法

第一个三重标积

就是最后结果是一个标量

是A点上B×C

那么B×C是个矢量

A再点这矢量

所以最后结果是个标量

A点上B×C

我们可以计算这是A

B×C用刚才的公式算

它是这个公式

最后结果就这个结果

所以A点上B×C

最后是这个结果

这个结果也可以用行列式来记忆

A把它的三个分量解出来

B三个分量解出来

C三个分量解出来

这一个行列式

就是这个解析结果

也可以用它的Ax Ay Az来展开

Ax放在这儿

它的系数就是这个二阶行列式

-Ay放在这儿

它的系数就是这个二阶行列式

然后同样Az放在这儿

它的系数就是这个行列式

我们就不在详细说明了

那么这个东西我们并不常用

我们真正用到的

有一个重要的

三重标积的关系式

就是下面的关系式

就是A点上B×C

等于谁呢

你把A挪到后面来

变成B点上C×A

你再把这B挪到后面来

等于C点上A×B

这个式子

我们以后要经常用到

所以三个矢量有一个标积

三个矢量还有一个叉积

叫三重叉积

A×上B×C

先B×C 我们得到一个矢量

A再一× 又是一个矢量

所以这叫三重的叉积

这三重叉积

我们就不写这解析式

没有什么意思了

我们重要的是要用到这个式子

A×B×C

我们知道它是矢量

它等于谁呢

它可以写成把B拿出来

大家注意 B是矢量拿出来

然后这两个点积

点积之后是个标量

作为它的系数

这没完再把它拿出来

它拿出来是负的 -C

剩下两个点积作为它的系数

这是它最常用的关系式

由这样的关系式

也可以计算出它的结果来

就比较简单了

矢量的这种乘法运算

我们讨论完了

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

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