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Video课程教案、知识点、字幕

我们上面是由保守力

引出势能

然后定义势能

是等于保守力做功的负值

我们称之为

保守力和势能的积分关系

下面我们反过来

假如知道了势能

来求保守力

这是一个微分关系

一维情况下

我们知道

势能微分的负值

等于它做的元功

所以在一维情况下沿着x轴

它做的功就是F(x)dx

于是F(x)就等于负的

dEp除以dx

就是势能对x的导数

一个函数对时间导数

我们常常称为变化率

一个函数对空间求导

我们常常称为对空间的导数

或者空间变化率

所以我们的这个x方向力

就等于势能

对空间的导数的负值

这是一维情况

我们再看三维情况

三维情况

这个力是这个方向

这是一点

我们现在讨论的时候

先建立一个x轴

先取这个点在x轴这个位置

这是P点

在x轴取一个相邻位置

这是P′点

这个地方如果是势能是Ep的话

这个地方的势能

就是Ep加上一个微分

而这个微分

这个变化

完全是由于x坐标变化引起的

所以这儿加了一个角标x

表示这个势能的微分

是x参量变化引起的dxEp

所以这也是一个微分

那么这两个的差

也就是dxEp的负值

就是势能的负增量

应该等于谁呢

等于F·dr

这是F

这是dr

一点积就等于Fxdx

因为你的位移是沿着x方向位移的

所以就等于Fxdx

于是

Fx就等于负的

它除以它

我们前边讲过

单纯由于x引起的微分除以dx

这是什么呢

这是偏导数

多元函数的偏导数

就等于-∂Ep/∂x

这就是Ep对x偏导数的负值

类似我们可以得到Fy Fz

都是势能对相应参量的

偏导数的负值

于是我们这个保守力就知道了

它是三个投影

分别乘以它单位矢量

注意前面有一个负号

所以它就等于负的

∂Ep/∂x x

加上∂Ep/∂y y

加上∂Ep/∂z z

这就是我们得到的结果

这就是已知了势能

去求它的保守力

就是这个关系式

这个关系式

还可以写一个简易的写法

等于什么呢

等于-▽Ep

这个▽是什么呢

是个叫哈密顿算子

它是一个形式上的算子

就是∂/∂x x

加上∂/∂y y

加上∂/∂z z

是一个微分算子

同时又是一个矢量的微分算子

我们把这个写在这儿

就相当于把这个乘以它

这个乘以它

这个乘以它

就跟这个式子一样

所以可以把这个式子

写成一个这样的形式

这个结果

是在直角坐标系里边的结果

那么把这个关系

这叫梯度

把梯度关系换成球坐标系

就不一样了

这是∂Ep/∂r

这是加上有系数了

1/r ∂Ep/∂θ

这个还有系数更多了

1/(rsin θ)

∂Ep/∂φ

这就是球坐标系里边的梯度

也是球坐标系里边的

求保守力的公式

所以保守力等于谁呢

我们用一个术语说

就是势能的负梯度

所以写成这个形式

这个结果

这就是它两个的微分关系

由势能来求这个保守力

我们刚才推导是一种方法

还有一种方法由多元函数的微分

也可以推出这个关系来

大家看

dEp是一个标量函数的微分

多元函数标量的微分

它应该写成谁呢

分别是三个偏导数乘以dx

对y求偏导数乘dy

对z求偏导数乘以dz

这是我们多元函数的微分的

普遍公式

注意前边有一个负号

它等于谁呢

它应该等于做的元功F·dr

F·dr可以写成

Fxdx Fydy Fzdz

这个大家注意

我是所有情况都对

因此dx dy dz

是任意的变量

这两个式子相同

而这个任意变量要相等

必须是相应的系数相等

所以Fx等于它

Fy等于它

Fz等于它

跟这个结果一样

所以我们从这个角度

也可以导出这关系式来

我们看一个例子

一维情况下的话

Ep=kx^2/2

直接求导

它等于它的负梯度

就等于-kx

我们看三维情况

引力万有引力

万有引力势能是-GmM/r

这个时候来求导的话

我们知道它应该三维

应该对r求导

对φ求导

对θ的求导

但这表达式里头

没有φ跟θ

所以它对φ求偏导是零

它对θ求偏导也是零

只剩下谁呢

对r求偏导

所以它就是这个结果

-∂Ep/∂r r

得的是这个结果

所以这就是球坐标系里边的

三维的梯度公式

我们看一下势能曲线

我们常常是知道势能曲线

来讨论它的受力情况

和运动情况

我们来看一下一维势能曲线

现在大家看我这是

画出一个比较随便的势能曲线

所谓势能曲线就是它的坐标

和它的势能的这条曲线

叫势能曲线

那么我们来看

由刚才的保守力和势能关系

我们这个保守力Fx

就等于这个势能的导数的负值

所以在这个曲线上就是它的导数了

对吧导数的负值

于是大家看

这点上势能导数(切线与x轴的夹角)φ小于π/2

它(导数)是正的

于是这点受的保守力

应该是指向这个方向

负的方向

大家再看这一点

这一点切线是这样的

它的斜率是小于零

但是呢

它的这个作用的保守力

却是正的

所以这是它作用力是这个方向

所以它的这个

斜率大于零的时候

Fx小于零

斜率小于零的时候Fx大于零

然后这个斜率的绝对值

是跟它的大小成正比的

所以斜率越大

绝对值越大

力越大

比如像这个地方

保守力就很大

这个地方保守力就比较小

我们再看

像这个点

这个点

这个点

它的导数是零

它的这个势能取极值

那么在这点处导数是零

说明什么呢

这一点的保守力是零

也就是这是平衡点

受力平衡点

这也是受力平衡点

这也是受力平衡点

那么但是这几个点

性质还不一样

在这个地方是极小值

所以这地方的平衡

我们称为稳定平衡

为什么是稳定平衡呢

当你从这一点离开它

往这边走的时候

大家知道

这个时候它受的力是向这个方向

指向平衡点

就推着它回到平衡点

当你偏离这个到这儿的时候

它受力是这个方向

也指向平衡点

也就是说

在这个平衡点

如果它偏离平衡点之后

它受的力都让它回到平衡点

我们就把这个平衡

称为稳定平衡

而这个点大家看是极大值

它就是非稳定平衡

不稳定平衡点

大家看

我如果离开一点

这时候受力什么方向呢

受力指向这个方向

于是它只能越来越远的

离开平衡位置

类似到这边也是一样

所以这样的平衡点

我们称为不稳定平衡点

我们再看保守力的性质

保守力垂直等势面

这是性质

什么是等势面呢

就是势能相等的点构成的面

叫等势面

大家看重力

这是重力是竖直向下的

对吧

它的等势面是什么呢

是水平面

是它重力势能相等的点

构成的面是等势面

所以它的重力

是垂直等势面的

我们再看这是引力

引力它是径向的

它等势面是什么样的

等势面是同心的球面

所以它的引力垂直于等势面

这也很好理解

质点在等势面上运动

它的势能的微分是零

微分是零

就说明它做功是零

于是说明

它受的力跟这个等势面上的

矢径的变化

是互相垂直的

于是说明力

跟你的这个dr垂直

就是dr构成的面是等势面

跟等势面垂直

这样的话

我们就把这问题都讨论完了

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

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