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引力几何化

爱因斯坦的场方程

引力几何化

等效原理和广义相对性原理

表明时空完全由引力场决定

怎么由引力场决定呢

物质分布决定了引力场

那么引力场

就决定了时空的几何结构

时空的几何结构确定了

自由粒子的运动就确定了

因为按照测地线假设

自由粒子要沿着

四维时空的测地线运动

所以这样的话

就看到了整个时空

是由引力场决定

因此

我这个时空的几何性质

就体现出了引力场的性质

这叫引力几何化

那么什么是自由粒子呢

就是在牛顿理论里面

仅受引力作用的粒子

在广义相对论里面

称为自由粒子

它不受力

所以牛顿理论的

仅受引力作用的粒子

在广义相对论里面

是自由粒子

自由粒子

就沿着受到引力影响

已经弯曲了的

四维时空的测地线运动

任意自由粒子的运动规律

都相同

体现了自由粒子的运动

是完全由引力场决定的

那么这就是

引力场独有的性质

所以引力才可以几何化

这就是我们看到这样的结果

所以

爱因斯坦的引力理论

实际上是没有引力的理论

它把引力的作用

把它体现在时空的弯曲上

所以

爱因斯坦的关于引力的理论

又称为引力的几何理论

没有牛顿意义下的引力

有的只是时空的结构

自由粒子

沿着弯曲时空的测地线运动

这样的话就是

我们说的引力几何化

引力几何化

体验在爱因斯坦的场方程上

就是一个引力场

它的方程是什么样呢

就是叫爱因斯坦的场方程

是广义相对论

最基本的方程

那么这个方程

就体现了它的引力几何化

我们来看一下

它的这个情况

时空的性质由引力决定

也就是由

产生引力的物质决定

于是爱因斯坦场方程

就表达了物质和它的

时空的几何结构的关系

那么时空的几何结构

用gμν来表示

gμν叫做度规

就是时空的度规

它是谁呢

它是咱们前边讲了

时空的间隔

就是ds平方

它的系数就构成了

这个时空度规

它是一个张量

那么时空的几何性质

由它的度规来决定

这大家看

这就是最著名的

爱因斯坦场方程

场方程就是这样的形式

这里边左边有gμν

还有Rμν

这是叫曲率张量

这个叫曲率标量

这两个量

都是这个几何结构的

gμν的微商

是偏微商

所以它们俩都是它的微商

所以左边

是一个关于gμν的

二阶微商的一个函数

右边是什么东西呢

这都是常数

这就是万有引力常数

Tμν是物质的能量动量张量

这样的话我们看到

这个场方程

是关于gμν的

二阶非线性的偏微分方程

这样的话我们就看到

反映时空性质的量

都在方程的左边

那么物质及其运动

在方程的右边

说明呢

物质它的分布以及运动

决定了引力场的性质

所以这就是场方程

就是一个引力几何化的

集中体现

就是时空的弯曲

或者说时空的结构

也就是时空的度规gμν

完全由物质的分布

和它的运动决定

场方程在静态弱场的情况下

近似为牛顿的引力场方程

场方程是张量方程

这样的话

在坐标变换下

保持形式不变

也就是场方程

满足相对性原理

张量可以用矩阵描述

所以度规张量

可以写成矩阵的形式

我们来看一下最简单的

四维闵可夫斯基空间

它的这个线源

也就是它的时空间隔的平方

是这个关系式

于是写出它的度规张量

也就是用矩阵形式写出来

是个对角的矩阵

那么就是负1 1 1 1

其它都是零

如果它其中有其它一些参量的话

这些个量就不是零了

那就是一个引力场里的时空的

一个度规了

所以一个度规

就是一个张量

它可以用矩阵形式来描述

好那这部分

就讲到这儿

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