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Video课程教案、知识点、字幕

下面我们看一下

功和功率

这个动能是状态量

我们前面讨论了

状态的改变

是和过程量相关的

那么跟动能这个状态量

相关联的是什么样的物理量呢

我们就通过它的微分来找出来

那么定量的关系

由动能的增量得到

也就是动能的微分得到

来自什么呢

来自能量转化和守恒定律

我们来看功

就是刚才说的

跟动能的改变相联系的过程量

假设质点m在力F的作用下

在dt时间内

它动能的增量是dEk

就是它的微分是dEk

于是我们求它的微分

跟谁有关

dEk等于二分之一的

应该是这个dv²

我们把mv²写成mv·v

为什么写成矢量形式呢

就要利用牛顿第二定律

所以v²写成v·v

对它求微分

是等于2倍的v·dv

所以把二分之一约掉了

变成mv·dv

然后这里边dv底下除个dt

这儿乘个dt

dv/dt就是加速度

就变成了质量成加速度

点上v乘dt

由牛顿第二定律

质点的质量乘以它的加速度

等于它所受的合力F

vdt变成了dr

就是它的矢径的微分

于是我们就得到了这个结果

这个就是力的过程量

这就是状态量动能的微分

于是跟这个过程量联系起来

这样的话我们就把这个过程量

定义为功

而它就是元功

元功等于什么呢

质点受一个力的作用

沿着这个方向

它有一个dr

矢径的微分

于是就定义在这个过程中

这个m做的元功

就是dW等于力点上矢径的微分

点上矢径微分

矢径微分又可以写成ds

ds是它走的路程乘以cosθ

然后我们说力乘以cosθ

力本身这个方向

乘以cosθ

就是切向力乘以ds

所以这就是我们说的元功

元功定义作用是F·dr

从这里可以看出来

确实只有切向力起作用

就是切向力

乘以它走的v路程

那么力

质点受的力

在一段时间内做的功

就是这个元功的积分

现在质点沿着这条轨迹

从A运动到B

在这个过程中

质点受力为F

注意到

F是位置和时间的函数

所以你要想求这个元功的时候

必须要确认是在轨迹上的一点

它在某一时刻某一点

这时候的力

然后它做的元功

现在它在P点

它受的力是F

它的位移就是dr

于是它做的元功

就是F·dr

我们把这个F·dr积分起来

就是它从A到B所做的功

也就是从A到B做的功

我们写作WAB

就是从A开始到B

这个元功的积分

特别注意

这个积分

必须是沿着轨迹进行的

就是沿着这条曲线进行的

所以我们特意加了角标L

表示它是沿着曲线L做的积分

所以特别要强调

这一点

这是我们需要注意的

功是力的空间效应

切向力对功有贡献

法向力对功没有贡献

那么体现和衡量

其他物体的作用

改变物体它的能量的

一种衡量的尺度

它的特点

标量我们说了

功是标量

正负体现呢

外界作用对能量的影响不同

我们一会儿可以看到这个影响

它的大小正负

与坐标系无关

虽然你是一个

在坐标系里做的积分

但是它与坐标系无关

跟参考系有关

比如说这有个石礅子

我用力来推它

那它不动

不动力就不做功

可是在一个旁边开过去的汽车上

它会看到这个石礅子是运动的

以它为参考系石礅子是运动的

所以你这力就做功了

所以做功的大小跟正负

跟参考系是有关的

它是过程量

只有在过程里才能体现它

与具体的过程有关

特别是跟你的路程有关

就是你的这个

质点运动的轨迹有关

是沿着轨迹来积分的

合力功等于各个分力功的和

因为合力可以分解成各个分力

于是合力功

就是各个分力功之和

功具有相加性

dr是力作用的质点的位移

这个特别要强调

这就是我们讨论的

力做的功

这个是功是比较复杂的

但是比较简单的情况什么情况呢

恒力

如果力是一个常矢量的话

我们称为恒力

恒力做功非常简单

大家看

我沿着轨迹从A到B

这是一个一个的dr

我们积分应该是

F·dr的积分

现在因为F个常矢量

我们前边讲过

矢量的定积分的性质

如果是常量的话

可以把它提到外面来

所以常量可以提到积分号外面来

F·dr的积分

我们也讲过dr的积分就是位移

就是Δr

就是从A到B它的位移

所以这个的dr的积分

就等于从A到B

这个Δr

于是

恒力的做的功

就等于力点上位移

所以看起来这个就非常简单了

跟你具体路线根本没关系

只要知道了始末的态

知道了位移

就可以计算出来了

于是就等于

力乘以位移的大小

乘以cosθ

如果力是变力的

那没办法

只有老老实实的积分

于是F·dr有两种形式

一种写成FdS乘以cosθ来积分

注意沿着曲线积分

还有一种写成投影形式

Fxdx加上Fydy

加上Fzdz

这两种都是标准的积分形式

这个在数学上叫线积分

沿着一条曲线的积分叫线积分

普遍的线积分是比较复杂的

我们不去涉及它

我们真正碰到的

给大家出的问题

都是比较简单的线积分

很容易计算的

这是功

下面我们说一下功率

在Δt时间内

力做的功是ΔW的话

那么就是说

它的平均功率

N的平均值

就等于ΔW/Δt

这是平均功率

功率或者叫瞬时功率

就是平均功率的极限

平均功率的极限

就是功对t的导数

我们刚才知道

dW等于F·dr

dr/dt就是v

所以

我们有一个很简单的形式

功率就等于F·v

这是我们分别讨论了动能

和与动能相联系的过程量

功

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

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