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平面谐波与球面谐波

三维空间传播的谐波

我们前面讨论

主要讨论是一条直线上的质点

构成的系统

它的波动情况

我们把它当做一维的来讨论

实际上我们应该讨论的

是一个连续介质分布在整个空间的

所以在三维空间里面讨论

但是我们在三维空间讨论的谐波

我们讨论的是平面谐波

跟球面谐波

我们就是推广了

我们现在讨论三围空间传播的谐波

还是用波函数

还是写作ξ(r,t)

但是这个就是空间的了

原来我们都写的是ξ(z,t)

在一条直线上

现在是在空间分布的

三维的连续介质

它的波动情况

质元的坐标还用矢径来描述

就是质元的平衡位置

我们来看几个相关的概念

首先是波线

又叫波射线

那么就是沿着波传播方向的

一条有向曲线

我们叫波射线

比如说我波是沿着这个方向传播的

我们这个方面的一条直线来画出来

就是这一条波线

波面又叫波阵面

是同一时刻波到达地点构成的面

对简谐波来说

这波阵面

就是位相相同点构成的面

又是叫同相面

我们现在讨论简谐波

所以以后波面就是同相面

我们就用同相面来代替

那么在各项同性的介质中

波线和波面是相互垂直的

下面我们说一下球面波

什么是球面波呢

它的波面是同心的球面

平面波

波面是彼此互相平行的平面

我们主要讨论的是平面波

所以平面波是波面

也就是我们说的

简谐波的同相面

是互相平行的平面

大家看

这就是球面波

球面波的波面

它是同心的球面

这是波线

或者波射线

跟这球面相互垂直

这是它的立体图

这是它的圆心

球心

这是一个一个的球面

波射线跟它垂直

这是平面波

平面波的同相面

是一个一个的平行的平面

我画的是剖面图

它是沿着z方向传播的

一个平面波

于是波线都是跟z轴平行

那么波面就是跟它垂直的

这一个一个跟z轴垂直的

一个一个的平面

这就是平面波

那么大家看

这是平面波的立体图

这就是一个一个的同相面

这是它的波线

所以

大家看

我现在介质是在空间分布

它的平衡位置

我用一个矢径来表示

但是它的振动是比较单纯的

它的振动就只有由这个

因为它是沿着z方向传播

它只由它的同相面的位置决定

只由它的z坐标决定

这就是它的平面波

所以平面波

虽然介质是空间的三维分布

但是它真正的振动

它的波动

只取决于一维的坐标

只取决于z坐标

所以它还是一维的波动

所以我们讨论的

就是一维波动的平面波

它的同相面是平面

它的这个波动状态

完全由它的z坐标决定

所以它还是一维的

平面波就是它写作

沿着z方向传播的平面波

还是写作Acos(ωt-kz+ф)

跟我们前边讨论的基本一致

只是它的介质的分布

不再是沿着z轴了

在z轴上了

而是整个空间的

或者说x,y,z;t

但是它的波动

还是取决于一个空间坐标

所以还是一维的

满足z等于常数的点

那么也就是垂直于z轴的平面

构成的同相面

大家看

这里头z相同的话

它的位相就相同

所以它的同相面

就是跟z轴垂直的平面

这是我们写的

沿着z方向传播的平面波

它还是三维的空间介质

是一维的波动

现在我们写

一个沿着任意方向传播的

平面简谐波

它的波函数

传播方向不再沿着坐标轴了

于是为了描述它的传播

我们引入一个波矢量

波矢量它的大小

就是我们的圆波数k

但是把它加上一个矢量的概念

它的方向就是波传播的方向

它的大小就是圆波数

于是波矢量就等于圆波数

乘以传播的方向的单位矢量

或者写成k乘以k的单位矢量

对于平面简谐波来说

k是一个常矢量

因为它传播方向相同

所以它的大小也不变

方向也不变

它是一个常矢量

大家看

这就是一个平面简谐波

这就是它的波矢量

它的传播方向

就是沿着这个方向传播

它的传播的波速

也是沿着这个方向

所以这就是一个平面简谐波

下面任务

就是写出这个方向上传播的

平面简谐波

它的波函数是什么样

要把这个写出来

我们这个写的

是沿着z方向传播的

正z方向传播的平面简谐波

现在要写出

沿着任意方向传播的

平面简谐波

那么怎么写呢

首先它的同相面

必须跟k垂直

而且应该是平面

对吧 应该是平面

我们来看

就把它写成什么形式呢

写成ωt加上r的一个函数

再加上ф

那么同相面方程

就是这个应该是常数

它对应的方程

就是这个应该是常数

它的位相是常数

在同一时刻

这个相跟这个相都是常数

所以就要求谁呢

要求f(r)等于常数

所以同相面方程

就要求这f(r)等于常数

换句话说

要求f(r)等于常数

是一个同相面方程

而这同相面

还不是随便的一个面

因为你是平面简谐波

所以它必须是平面

而且应该跟k垂直

由平面波定义

同相面应该是

垂直于k的平面

所以f(r)等于常数

应该为垂直于k的平面方程

而且当k等于z的时候

沿着z轴传播的时候

f(r)应该等于-kz

这样的话我们就知道

什么样的函数

是一个平面方程呢

k·r等于常数

这是一个垂直于k的平面方程

这大家可以去思考一下

如何证明k·r等于常数

它是一个垂直于k的平面方程

因此

我们就取f(r)

等于-k·r

因为当k等于z的时候

它应该是=-kz

所以这应该出现一个负号

-k·r

于是沿k方向传播的

平面简谐波的方程

或者是波函数

应该写做ξ(r,t)

就是三维空间

它的波函数

应该是Acos(ωt-k·r+ф)

这就是沿着k方向传播的

平面简谐波的表达式

k·r等于k_x x

加上k_y y加上k_z z

我们验证一下

当k等于kz的时候

那么k·r等于kz

于是这个方程这个波函数

就变成了沿着z方向的

Acos(ωt-kz+ф)的一个波函数

如果k=-kz的话

那么k·r应该等于-kz

于是波函数

就等于Acos(ωt+kz+ф)

跟我们前边推导出来的那个

沿着z方向传播的

平面简谐波的方程是一致的

所以我们这个是没有问题的

我们再看球面简谐波

这个球面简谐波

它的同相面是同心的球面

它的波矢是k乘r

r是径向的

所以不同的径向

这个波矢是不一样的

所以它不是常矢量

与平面简谐波不一样

它的振幅

我们以后会证明

它的振幅

是跟到球心的距离成反比

我们令它的振幅是a/r

那么a就是一个正常数

因为这体现出

它跟r成反比

那么我们还是说

同样这一个关于矢径的函数

等于常数的时候

应该是垂直于k的球面方程

于是这个f(r)就很简单

它是-kr

于是我们就写成

球面简谐波的

表达式或者波函数

就是A(r)cosψ(r)

写出来就是刚才设A是a/r

所以(a/r)cos(ωt-kr+ф)

这就是从中心向外传播的

球面简谐波的波函数