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第四弦上横波

现在有个均匀的柔弦

所谓柔弦只有拉应力

所以叫均匀的柔弦

那么线密度是η

它现在把它拉紧之后

上下做着小振动

我们讨论一下

这个弦上横波

所要满足的微分方程

弦上各点的联系

是通过张力T

忽略重力

大家看

这是一根柔弦

然后把它张紧

用张力T把它拉紧

它的联系就这张力来实现

然后我在这里头

让它做一个小的横向的振动

形成了一个居于柔弦上的横波

现在我就画一个某一段

在这里取某一段

画它的形状

当然这非常夸张了

因为它是小变形

所以实际上

它的横向的位移很小

我这里把它画的比较夸张

在这里取了一小段

这一小段就是z到z+Δz

取一小段

它的这个是弦的形状

当然这个非常夸张

那么

这个是它的切线方向

这是它的切线方向

它的应力

张力作用在切线方向上

这个它跟水平方向夹角θ1

这个它跟水平夹角是θ2

那么它的质心在c点上

我们对这段也应用了

刚才说的质心运动方程

它的振动方向

是ξ是横轴方向

于是质量乘以它质心的加速度

应该等于它所受的

因为我指出是横向振动方向

就是横向力

这个横向力是正的

T2sinθ2是正的

这个横向力是负的

所以减去T1sinθ1

我们下面可以证明

T1跟T2近似相等

都等于张力T

所以可以把张力T提出来

然后sinθ2跟sinθ1

近似等于谁呢

∂ξ/∂z在这个地方

和∂ξ/∂z在z处

为什么它会等于∂ξ/∂z呢

因为这个角度很小

很小的话sinθ约等于tanθ

tanθ就是这条曲线

它的斜率

所以它就是

它约等于tanθ2

就等于偏ξ偏z

在这个地方的斜率

同样这个

也等于它在z处的斜率

这就是我们得到这个方程

我们看

它为什么T1约等于T2呢

就是我这刚才

是横向ξ方向有位移

但是在z方向没有位移

z方向没有位移

所以在z方向

它受的力

合力应该是零

z方向的合力

一个是T2乘以cosθ2

一是T1cosθ1

两个相减要是零

而这θ1 θ2都接近于零

所以cosθ2约等于cosθ1

约等于1

于是T1就约等于T2等于T

所以我们就得到了那个方程

把那个方程整理一下

就是η乘Δz

等于这是它的质量

乘以它的位移

对时间的二阶导数

等于这个张力

乘以Δz(∂²ξ/∂z²)

把Δz约掉

于是得到了它的波动方程

就是∂²ξ/∂t²

等于(T/η)(∂²ξ/∂z²)

这又是对时间的二阶导数

这是空间的二阶导数

前边一个正常数

于是正常数的平方根

就是弦上横波的波速

等于根号下T除以η

第五水面波

水面波的讨论我们把它略去

静止水面是水平的

然后如果我这里头

加上一个外界的影响

水面就会起伏起来

起伏起来形成一个水面波

水面波它是由重力和表面张力

作为恢复力引起的

这个水面波是我们能看到的

最精彩的

自然界的一个波动现象

但是我们就不再讨论它了

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微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

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Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

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-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

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-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

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-§4.刚体 (下)

-习题

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Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

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-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

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-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

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-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

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--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

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-§5波动方程.波速

-习题

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

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-§8驻波

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

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