当前课程知识点：力学 > Ch6.连续介质力学 > §2.固体形变和流体静力学(下) > Video

返回《力学》慕课在线视频课程列表

Video在线视频

Video

下一节:Video

返回《力学》慕课在线视频列表

Video课程教案、知识点、字幕

第三部分

圆柱扭转

这是我们所讨论的

三种固体的基本形变的第三种

圆柱扭转

大家看这是一个高为h

半径为R的

一个均匀的直圆柱

这些线是它的母线

在没有变形的时候是平行的

这是母线

现在呢我在这个面上

和这个面上

加上了反方向的力偶矩

力偶矩呢上边是M

下边也是M

但是方向相反力偶矩

在这样力偶矩作用下

这个圆柱就发生了扭转

原来的平行的母线

现在变成斜的了

当然注意我这个画的比较夸张

实际上我们讨论的都是小变形

所以是一个很小的一个转角

那么我们看

我们在原来在这个上边

除了画了母线之外

还画了横线

我们发现这横线没有变形

所以横截面仍然是平面

半径不变

高度也几乎不变

只是母线扭转

母线扭转

原来从侧面看

是一个矩形

现在变成了

这样的一个形状

于是侧面发生了剪应变

这个剪应变大家注意

用什么来表示呢

就用这个转交δ来表示

原来是矩形

现在变成这样形状

这个角度的变化

就来描述它的剪应变

剪应变就应该等于

是这个角度其实很小

所以它近似就等于

这个长度

这个圆弧的长度

除以这个的高度

就是这个的转角

此外提醒大家注意一下

我在这个面上

这个的变形

跟在这个面上它的变形

跟在这个面上变形

统统都是这个角度

所以这个变形跟高度无关

在各个高度上

它的侧面的

剪切变形

统统都是δδ

等于这个弧除以这个高度

这个弧长是半径乘以ф

所以就等于Rф除以h

应力状态

我们分析以后发现

在三个互相垂直的面上xyz面上

正应力都是零

只有剪应力是沿着环向的

刚才我们是取向上是z轴

那么这剪应力

出现在横截面上

所以它的面的法线方向是z

它是环向

所以它的方向是ф方向

找任意一个横截面

把这个圆柱切开

那么由力矩平衡

任何一个横截面上的内力矩

都应该等于外力矩

就是内力矩等于外力矩

我们刚才注意到

这个侧面上的

剪切变形跟高度无关

所以在任何一个高度上

侧面剪切变形都是δ角度δ

角度就等于Rф除以h

在圆柱的外侧面

是均匀的剪应变

都是这么大

那么在圆柱的里边

半径小于大R的地方

也构成一个圆柱面

那个圆柱面上侧面的剪应变

会是如何呢

它同样这个圆柱的里边

半径为r的小圆柱的侧面上

也是沿着高度

也是均匀变形的

我们来看这个图

这是半径为r

它的在圆柱内部的

一个小圆柱面

它在侧面上也有剪应变

那么它的侧面的剪应变

应该也是像刚才一样

是这一段的圆弧的弧长

除以高度

就是DD′弧除以高度

DD′弧等于是小r乘以ф

于是就是小r乘以ф除以h

那么

圆柱面侧面上的剪应变

由谁来产生呢

就是咱们刚才说的

由圆柱的横截面上的剪应力

产生的这个剪应变

所以由胡克定律

这个剪应变和剪应力

就应该有这样的正比关系

半径为r处的剪应力

应该等于

它半径为r处的剪应变

乘以剪切弹性模量

于是我们看到

横截面积为圆的

这样一个圆周上

它的剪应力

沿着这个ф的方向

就是环向

而且跟半径成正比

是这样一个情况

这样的话

这些剪应力

它的矢量和是零

所以在横截面上

并没有力的矢量和

但是它对原点对中心

产生一个力矩

这个力矩就是内力矩

要等于外力矩

所以我们这个内力矩

就等于外力矩

等于这个剪应力对O点的矩

剪应力我在这儿

选一个小的圆环

小圆环面积上

它到中心的距离都是r

它的这个大小就等于它的

剪应力乘以它的面积

再乘以它的半径

就是它产生的力矩

对它进行积分

最后结果就是这个结果

于是

我们就得到了

里边的内力矩的分布

和外边的力偶矩之间的关系

这个积分就是这么样做的积分

就是我刚才说的

小圆环上的面积

然后每个小面积上产生的力

它的力臂都是r

所以这个小圆环上的

这个环形的力

它对O点的矩就是这个

对它积分结果就是这个结果

于是

我们就有这个关系式了

在我们刚才那个

剪应力分布关系式里面ф

跟h是不知道的

现在由这个关系式

就把фh得到

于是就得到了

这个剪应力的正式的分布

这是已知的外边力偶矩

那么我任何一个截面上

r处的剪应力

都是这么大

就得到了剪应力的分布

那么最大剪应力

就在它的边缘上

就是在大R处的

剪应力是最大的

是这个结果

2M除以πR的立方

我们定义这段圆柱

就是这个长为h

这个圆柱

它的扭转弹性系数D

D等于多少呢

等于外力矩除以它的转角ф

于是

我的力矩就等于

这个系数D乘以ф

那么D大家看

等于πGR的4次方除以2h

因此

影响这个扭转弹性系数的

最大的因素

就是半径

跟半径的R的4次方成正比

所以半径

是最大的影响因素

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

也许你还感兴趣的课程:

© 柠檬大学-慕课导航课程版权归原始院校所有，
本网站仅通过互联网进行慕课课程索引，不提供在线课程学习和视频，请同学们点击报名到课程提供网站进行学习。