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Video课程教案、知识点、字幕

我们刚才说了

一个空间运动

可以分解成三个一维运动

来解决

那么现在我们就来

系统的全面的来说一下

真正的一个三维运动

是怎么样解决的

就是运动学的三类基本问题

就把刚才那个办法

把它系统的说出来

空间运动的三类基本问题

我用矢量形式把它总结出来

然后写出它的投影形式上来

在理论上

我们要用矢量式

具体的解决问题

还要用到它的解析式

大家看

跟我们刚才那三类问题一样

第一类问题

已知矢径它的这个方程

也就是知道质点t时刻的位置

来求谁呢

求速度加速度这最简单

速度是矢径的导数

加速度是速度的导数

是矢径的二阶导数

这很容易解决

这是我们说的

解决已知位置

求速度加速度的矢量表达式

它的解析式就是vx

这是直角坐标系

vx等于dx/dt vy等于dy/dt

vz等于dz/dt

加速度呢

是x y z的二阶导数

这是解析形式

第二类问题跟刚才一样

已知速度以及一个初始条件

t等于0的时候矢径的位置

然后呢

要求加速度和矢径

求加速度

直接就是速度的导数

这很好计算

那么矢径是怎么计算呢

就是利用这个关系式

dr=vdt

就是r的微分等于vdt

就跟咱们刚才的标量的

微分式是一样的

这只不过是矢量的表达式

于是呢我用它的

矢量的定积分的概念

r的增量 0到t

r的增量就是△r r-r0

等于谁呢

等于0到t

v的定积分

所以r-r0

等于0到t v的定积分

于是r就等于

r0加上0到t v的定积分

所以我现在这个思路

虽然是矢量函数

跟我们刚才说的

标量函数的思路完全一样

也用定积分的概念

就把矢径求出来了

这是矢量式

我们写成投影式

三个分量的加速度

分别是三个速度投影的导数

然后x等于x0加上vx的定积分

y等于y0加上vy的定积分

z等于z0加上vz的定积分

这就是刚才我们写的

矢量式写成它的解析形式

就是分量式或者投影式

这是第二类

第三类

跟刚才一样

是已知加速度

然后两个初始条件

一个是t等于0的时候

矢径的位置是r(0)

一个是t等于0的时候

速度的大小

速度矢量就是v(0)

那么我们来求

这个速度v和这个矢径r

那么微分关系 dv=adt

我们也用刚才的这个

定积分概念

于是就得到了v等于v0

0到t　a的定积分

大家注意呢

这是矢量关系式

这是矢量这是矢量

特别注意

加速度也是矢量

所以这是个矢量的关系式

就是速度v等于v0加上加速度

0到t的定积分

同样跟这个一样

r等于r0

加上v 0到t的定积分

这个大家看

就是它的矢量关系式

现在我们假设

a是常矢量

a不是时间的函数

a是常矢量

那么就是这个结果如何呢

这是可以积出来了

如果a是常矢量的话

a是可以提到积分号外面去的

于是这个定积分

就变成了dt的积分

这个积分我们知道

应该是t 对吧

t 从0到t

那么结果还是t

于是呢这个的积分就是at

我们再看这个

把v0+at代到这个式子里边来

我们仍然可以用那个办法

把它积出来

因为v0是常数 a是常数

我们可以积出来

因为我们前边讲的定积分的性质

常矢量可以提到积分号外面去

于是如果a等于常矢的话

我们得到的结果是

v=v0+at

r等于r0加上v0t

加上½at²

注意

这里边v a都是矢量

所以这是个矢量关系式

然后

对于这个a是常矢量的时候

我们还可以得到这个关系

就是v²-v0²等于2a

a是矢量点上r-r0

或者写成呢

2a·△r

这个式子如何得到推导和证明呢

同学们可以自己下去思考

我这里就不说了

这是我们讨论的矢量式

下面是投影式

就是vx等于vx0

ax从0到t的积分

类似是vy vz

x等于x0

vx从0到t的定积分

类似得到y和z

这样的话我们就总结了

这个空间运动的三类问题

以及它的解

我们回头来看一下

我们用的

都是我们刚开始讨论的

质点的运动的

基本的关系式

就是r a和v的关系

这些关系都是矢量关系

于是我们就可以用

积分微分的办法

来解决空间运动问题

所以整个都是这套系统

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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