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定常流动下的连续性方程

我们说我们以后

经常讨论的是定常流动

定常流动是非常简单的一种情况

它的连续性方程也非常简单

那么在定常流动情况下

它的密度是常数

不随时间变化

所以∂ρ/∂t是零

于是这个里边的质量

也不发生变化

所以它对时间的导数也是零

因此我们就得到连续性方程

在定常流动下的连续性方程

一个这个的积分是零

就是它的闭合曲面上的

质量流量是零

一个是这个散度

ρ乘v的散度是零

如果是不可压缩的流体

不可压缩流体我们可以说明

它的ρ是常数

既然它是常数

于是刚才这个

ρv·dS等于零

ρ可以提出来

于是变成了v·dS是零

那么刚才说

ρ乘v的散度是零

因为ρ是常数提出来

于是v的散度是零

所以我们对定常流动

且不可压缩的情况下

有这两个关系就更简单了

那么这样的关系

对我们在讨论问题里面

有什么帮助呢

它可以说明

在同一个流管里面

任意截面上的质量流量是常数

什么意思呢

大家看

一个流管里边

它这里边

因为在定常流动

所以这里面的质量是不变的

对吧质量是不变的

我通过这个截面

流进来的质量

应该等于

通过这个面流出去的质量

通过这个面流进来的质量

就是质量流量

通过这面流出去的

在同一时间内流出去的

也是质量流量

所以在同一个流管里面

任意截面上的质量流量

应该是常数相等

也就是这样的结果

那么

如果是不可压缩的流体的话

那么就是说什么呢

不但是质量流量是常数

体积流量也是常数

因为它的v·dS是常数

所以这里面

我通过这个截面流进来的体积

应该等于同一时间内

从这个截面流出的体积

所以在任何一个截面上

它的体积流量也相等

这就是我们的应用

我们说为什么

在定常流动下

不可压缩流体

它的质量密度是常数呢

当流体不可压缩的时候

各质元的体积保持不变

体积保持不变

就说它的密度是不变的

而这个质元就要在流动

它原来在这儿

那么这点的密度就是ρ

它一个确定的密度是ρ

当它流到这儿

这点的密度也是ρ

而我们又知道

这ρ是不随时间改变的

所以你在这儿是ρ

这儿也是ρ

就说明任何一点的密度都是ρ

所以

当流体不可压缩的时候

它的流体的密度也是均匀的

在各处分布都是均匀的

在对于细流管

我们刚才说了

是细流管要细到什么程度呢

就是细到在这个它的截面上

流速均匀

既然流速均匀的话

所以积分本来是在

这个面上要积分的

积分就变成点积了

本来要是ρ点上dS

在ΔS上积分

现在在ΔS上整个都是均匀的

也就是把这个可以提出来

于是就变成了

dS的积分就是ΔS

所以原来的积分就变成了

ρv·ΔS

这就是这个积分换成了点积

这就是质量流量

如果ρ是常数

那么它的体积流量

就可以写成v·ΔS等于常数

我们现在看一个例子

一个大的水槽

水面高度是h

底部有一个半径为大R的一个圆孔

孔中流下水流

已知我选这个水槽底面

作为它的原点

然后在下面y处它的水的流速

是根号下2g乘以y+h

h是水面的高度

y是到这儿的高度

所以相当于

根号下2g乘以这个高度

是它的水的流速

求流出的水柱母线的形状

我们看

把水流看作不可压缩的流体

因为水槽很大

小孔很小

所以可以看作定常流动

水柱就是流管

那么在流管上任意横截面积

体积流量都应该相等

那么近似横截面上流速相同

并且流速跟横截面垂直

于是在这个面上的体积流量

就等于流速乘以面积

流速就刚才这个结果

再乘以πr²等于常数

既然等于常数

就等于这个处的体积流量

这个处体积流量

就是根号下2gh

乘以它的面积

于是就得到了y和r的关系

y等于hR的4次方

除以r的4次方减去h

这样的话就得到了

它的母线的

纵截面的母线的方程

这里要说明一下

当这个y比较大的时候

在这地方流速特别大的时候

那个水柱会断开

就散开形成水花

一形成水花

那么我们的讨论就结束了

在这儿就不合适了

所以我们要在没有断裂的地方

这个讨论才成立

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

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-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

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-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

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Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

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--作业

-§5波动方程.波速

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

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-§8驻波

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

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-§3 相对论动力学基础

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-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

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Ch9.广义相对论

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-§2史瓦西场中时间与空间(上)

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