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Video课程教案、知识点、字幕

矢量函数的积分

我们刚才说

跟标量函数的积分

概念运算法则都是一样的

但是它没有它的积分公式

它的积分还要写成解析形式

化成标量的积分

首先还是这矢量函数的积分

我们定义

如果F(t)对t的导数等于f(t)

就把F(t)称作f(t)的原函数

它所有的原函数

就是它的不定积分

于是f(t)的不定积分

就等于它的一个原函数

加上积分常数

完全一样

只是注意这积分常数也是矢量

整个都是矢量关系式

注意我们学到现在

我们学习了矢量的概念用法等等

写法等等

从现在开始

要特别要注意它的写法和应用

像这个式子

如果这是矢量这是矢量

你这写个标量

就完全错了

矢量不能等于标量

所以一定要注意它的写法

从现在开始

从头开始就不要犯错误

要正确的使用这个矢量

然后再看定积分

f(t)在闭区间[a,b]上定积分

就等于谁呢

把它划分成

a跟b划分成一个个小区间

在第i个小区间里

这个就等于这矢量函数的值

乘以小区间的宽度

然后求和

然后把最大的小区间宽度趋于0

取极限

如果极限存在

就叫做这个f(t)的

从a到b的定积分

结果用这个公式

就等于它这一个原函数

从a到b的差值

大家注意这都是矢量

等于F(b)减去F(a)

这都是矢量的关系式

矢量的函数的积分也是矢量

矢量积分的运算法则

我们也说运算法则

跟标量函数完全一样

矢量不定积分的运算法则

先是做不定积分再对它求导

就等于被积函数

我一个先取这个微分

然后再取积分

就等于一个原函数加上c

然后一个常数

乘以一个函数的积分

所以把常数提出来

一个常矢量

乘一个标量函数的积分

可以把常矢量提出来

两个矢量函数的和的积分

等于矢量的积分和

下面看矢量定积分的运算法则

还是关于积分限

a到b的矢量函数的积分

等于负的b到a矢量函数的积分

那么从a到b的定积分

等于从a到c的定积分

加上从c到b的定积分

两个函数相加起来的定积分

等于两个定积分之和

一个常数乘以一个

矢量函数的定积分

可以把常数提出来

一个常矢量

乘以一个标量的定积分

可以把常矢量提出来

我们看计算

计算一个什么呢

计算一个dr

r大家注意

这是矢径是个矢量

从r1积到r2

这r1到r2也是矢量

大家看由运算法则

如果这是微分

这是积分的话

它结果积出来以后就是这个r

对吧就是r

所以它的一个原函数就是r

所以由积分的性质

先微分后积分

结果它的原函数就是r

r从r1到r2

于是就等于r2减r1

就等于Δr

所以dr从r1到r2的积分

就等于r的一个增量

下面讨论矢量积分的解析计算

这个特别重要

因为矢量的积分

通常都是以解析形式来计算的

首先看一个

一元矢量函数的解析计算

这个矢量可以写成它的

分量的形式

那么这个分量用积分的性质

它可以写成三个分量的积分

而这个里面

x是一个确定的一个常矢量

就可以提到外边来

所以最后结果

就是这个矢量的积分

就等于它三个投影积分

分别乘以它的三个单位矢量

这是一元函数的解析运算

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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