Video在线视频

第七

伯努利方程的应用

伯努利方程用处很多

我们可以讨论很多的

理想流体的动力学问题

首先看等高流管中

流速与压强的关系

等高流管

就是z等于常数

于是本来是压强加上ρgz

加上二分之一ρv方等于常数

因为z等于常数了

所以就这两个加起来

本身就等于常数

我们体积流量

等于横截面积乘以流速

这里我们要复习一下

体积流量的概念

因为它是非常重要的一个概念

我现在有一个面积S

选定了法线方向之后

那么单位时间内

通过这面积流过去的

流体体积

就叫做这个面上的体积流量

体积流量是单位时间内

通过它的

我选定了法线方向之后

顺着法线方向流过的

就是正的

逆着法线方向流过的

就是负的

所以体积流量可正可负

那么体积流量怎么计算呢

在这面上我选一个

矢量面积元dS

于是v流速点上这矢量面积元

就是在单位时间内

通过这矢量面积元的

体积流量

于是整个面上的体积流量

就等于矢量面积元的

体积流量的积分

那么这个积分就是v点dS

在这个S面上积分

用数学的语言来说

就是流速

在这个S面上的面积分

所以它就是这个体积流量

如果流速是常矢量

流速是均匀的

流速不变

在这个面积上相同

于是v点dS

就可以把v提出来

变成了dS的积分

dS的积分就是这个面积的

矢量面积

所以如果流速是均匀的话

这个体积流量

就等于v点上矢量面积S

现在呢

我现在在一个流管里流动

流速沿着流管

我取横截面积

横截面积这个矢量的面积

它的方向

就是流速的方向

所以v点上S就等于v乘S

所以在我取横截面的情况下

在一个流管里面

如果流速均匀的话

那么它的体积流量

就等于S乘v

所以我们复习一下

这个重要的体积流量概念

这样的话

如果S横截面积减小

那么流速增加

流速增加于是压强就减小

这就是我们看到的

这样的一个

同一个水平流管里面

它的流速

和截面积的关系

现在我们举个例子

来看喷雾器的原理

喷雾器上边是一个流管

水平的流管

流管这边的直径

跟这边直径一样都是d0

当中地方直径减小

变成一个细管

然后这细管上有个分支下来

下来的话进入一个容器

容器里边有液体

气体从这儿流过去

那么这段的截面大

所以它的流速小

压强大

这儿的截面小

流速大 压强小

这儿的压强是外界气压P0

于是这儿的压强

就小于外界气压P0

于是这儿的压强P0

它小于压强P0

就把流体吸上去了

如果合适的话

可以把流体一直吸到这个位置

于是气体带着流体喷出来

这就变成了喷雾

雾状的喷雾的喷雾器

就是这么个原理

现在知道了这些条件

它的直径

它的直径

气体的密度

流体的密度

以及外界的压强都是已知的

让你求什么呢

当这个速度

最小是多小的时候

可以恰好把这流体吸到这么高

这个高h也是已知的

所以我们现在就讨论这个问题

最小的流速对应谁呢

刚好把流体吸到这儿来

所以这儿的压强

比这儿的压强大

大多少呢

正好是ρ0gh

所以最小的流速

对应着P0减P等于ρ0gh

这个P就是这点处的

气体内部的压强

现在我选流线

这条流线1点到2点

我应用伯努利方程

你把流线选出来

把点选出来

在这条流线上1点和2点

应用伯努利方程

在这个位置伯努利方程是

P0加上二分之ρv0的平方

等于谁呢

等于这个位置2点

P加上二分之ρv方

流速v是跟横截面积成反比

也就是跟

这个管子的直径的平方成反比

这样的话

我们把这个移过去

把这一项移过去

把这一项移过来

于是就是二分之ρv方减v0平方

我把v方提出来

这里边就变成了

1减去v0平方除以v1方

刚才说

v是跟横截面积的平方成反比

于是就变成了

1减去d除以d0的4次方

这是v0除以v的平方

这就变成了d除以d0的4次方

它等于多少呢

恰好等于ρ0gh

于是就可以把这个v求出来

这个v就是我们所要求的

最小的v

所以这个v就是最小的v

等于这个结果

如果我们给出这样的数据ρ

0是水

每立方厘米一克

这个是空气

每立方厘米1.29

乘以10的负3次方克

高度5厘米

这个d是0.41厘米

这个d0是1厘米

已计算出来

最小的流速是每秒29米

这就是我们根据伯努利方程

讨论的喷雾器原理

并且进行的计算

第二个问题

我们讨论小孔流速

就是应用伯努利方程

讨论小孔的流速是多少

这是一个比较大的容器

里边放着液体当做理想流体

在它的底部开一个小孔

于是水或者是流体

就从这个小孔流出来

因为孔很小

所以流速虽然比较大

但是流量并不大

所以可以把这个流动过程

看作一个定常流动

所以要想应用伯努利方程

必须满足它的条件

让定常流动

假设这表面上这个容器很大

表面积很大

于是在这儿的流速

近似为零

那么我现在对表面上这个点

和出口的这个地方4处

这4处是从这口里头流出来

大家知道

刚流出来的流体

流线并不平行

刚出来流体流线是这样的

到了这个位置

流线才开始平行

我们就讨论这个位置的点

叫4点

为什么要讨论这个点呢

我们前边说过

如果流线平行的话

里外的压强差

就等于进水的压强差

我们忽略了进水压强差

就认为里外的压强相同

于是4点处流体内部的压强

就是外界的气压

也就是大气压P0

所以它的流线水平这条件

是非常必要的

于是

我们这两点应用什么呢

伯努利方程

这个点它对应的三个量

是P0大气压

加上ρgh

这个高度是h

我们取这个为z等于0点

再加上流速是零

等于这个地方流体里边的

压强是P0

等于大气压

它的高度是零

它的流速是v方

就是这样的话一个等式

于是就把v求出来了

所以这样一个大型的容器里面

装着理想流体

在下边开个小孔

液面到小孔的高度为h的话

它的流速是等于

根号下2gh

这就是有名的托里拆利定理

它是通过实验得到的

我们通过伯努利方程

把它证明了

那么如果想求这里的体积流量

就拿这儿的速度

乘以这个地方的横截面积

于是就是S′乘以根号下2gh

这是小孔流速

注意

流动情况下的

流体内部的压强分布

跟静止情况下的分布不一样

比如咱们看这个图

这个图2点跟3点

在同一个水平面上

但它俩压强不等

这个地方的流体不流动

这个地方流动的

它的压强就大于它

再看1跟2点

它高度不一样

但是它的压强差不等于

它的ρg乘以高度差

它的压强差等于多少呢

用伯努利方程

它在一条流线上

伯努利方程等于ρgz1减z2

这是进水的压强差

再加上

二分之一ρv1的平方减v2平方

因为这地方的流速大

这地方流速小

所以它小于等于ρgz1减z2

所以它的这个流动起来的

压强差

不等于进水情况下

它的压强差

特别是我们看这一点

这一点的压强是P0

它等于外界的气压等于P0

它跟它的高度差是h

这么大的高度差

但是4点处的压强

已然是P0

所以它俩的压强是相等的

虽然有那么大的高度差

所以我们看到

在流动情况下的

流体内部的压强分布

和进水情况下

是不一样的