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Video课程教案、知识点、字幕

第六

我们讨论一维的

线性的波动方程

我们已经在不同情况下

得到了同样的波动方程

我们把它讨论一下

这就是它的共同的情况

这叫一维的

线性的波动方程

它的特点就是左边

是位移的对时间的二阶导数

右边是位移对空间二阶导数

前边一个正实数

这叫一维的线性波动方程

那么

凡是在介质中

能够实现的平面波

都是这波动方程的解

反过来

凡是波动方程的解

都能在波动中实现

所以这就是我们说的

波动方程

这个波动方程是个二阶线性的

偏微分方程

它的通解是什么呢

它的通解可以写作

任意一个函数

它的自变量是z-vt

或者任意一个函数

它的自变量是z+vt

这样的一个解

就是它的通解

我们下面说明一下

为什么它是它的解

我们来验证一下

令u=z-vt

于是f（z-vt）

就可以写成f（u）

就是任何一个函数

只要它的自变量写成z-vt

都是这个微分方程的解

现在为了验证这个

利用一个参量u=z-vt

于是我们看

这个函数对z的偏导数

就等于这中间变量

这u是中间变量

先对中间变量求导

中间变量再对z求导

大家看

我u对z求偏导数是1

所以∂f/∂z

就等于df/du

它对它的二阶导数同样处理

它等于d²f/du²

f对z的二阶偏导数

就等于f对u的二阶导数

这是对z

下面对t求导

f对t的偏导数

就等于f对u的导数

乘以u对t的偏导数

大家看

u对t的偏导数

应该是负v

所以就出现了

-v(df/du)

类似我们可以看到

f对t的二阶偏导数

就应该等于负v再乘以负v

再乘以f对u的二阶导数

所以就变成了v²

我们来看方程的左边

方程左边是f对t的二阶导数

f对t的二阶偏导数

应该等于v²

乘以f对u的二阶导数

所以左边

就等于v²f对u的二阶导数

那么右边呢

是f对z的二阶偏导数

于是按这个结果

它应该就等于

f对u的二阶导数

前面有一个常数c

这个是相同的

两边约去了

所以如果v²等于c的话

就等于它微分方程

前边对z的二阶导数

前边的正的系数的话

那么左边就等于右边了

因此验证了

只要v是等于根号c的话

我这个函数

就是原来波动方程的解

因为左边等于右边了

所以

我同样可以验证

z+vt也是解

所以我们刚才说的

任意的一个f(z-vt)

和z+vt都是原方程的解

我们已经验证了

那么

这个是什么样的一个函数呢

其实它代表着一个平面波

是什么呢

是一个向正z方向传播的正面波

而这个呢

是向负z方向传播的平面波

我们得到这解以后

我们分析这两个解发现

它都是平面波

为什么这个是有

向z方向传播的平面波呢

我们回想一下前边的讨论

我们前边在上节已经知道了

t等于零时刻的波形

是这种形式

把这个零时刻的坐标位置变量

空间变量

换成谁呢

换成z-vt

于是原来的波形

就变成了向右传播的平面波

也就是向正z方向传播的正面波

所以

我们就知道

你任何一个函数

它如果自变量是z-vt的话

它就是向正z方向传播的

以v为波速的一个平面波

所以我们前边的讨论

其实现在就是说明了

这是一个

向正z方向传播的平面波

同样

我们可以说明

这个是一个向负z方向

传播的平面波

所以

我们前边的讨论

在这里面又一次用到了

它来说明了

这两个解它的物理意义

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