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下面我们分析一下二维碰撞

我们对撞是一维运动

在一条直线上

我们现在讨论的二维碰撞

二维碰撞就是它碰前的速度

跟碰撞后的速度在一个平面上

这样碰撞就是二维碰撞

我们还是以小球为模型

正碰的时候

两个小球是对心碰撞

如果斜碰了

就变成了二维运动了

大家看

这就是一个斜碰二维碰撞

两个小球它的速度是这个方向

它的速度是这个方向

这是初始速度

碰了之后

它的速度是这个方向

它的速度这个方向

整体上在一个平面上

我们现在讨论

是这样一个二维碰撞

那么我们看能列出什么方程来

首先是动量守恒

因此碰撞之后的动量

等于碰撞之前的动量

大家看

这是等于几个方程呢

等于两个标量方程

或者投影方程

所以这一个矢量方程

等于两个投影方程

而我有几个未知数呢

每一个矢量有两个

分量投影是不知道的

所以这应该是

四个未知数

两个方程

我还可以利用谁呢

利用牛顿关系列出一个方程来

假设我在二维碰撞的时候

沿着质心方向的碰撞

仍然满足牛顿关系

就是x方向仍然满足牛顿关系

于是列出一个

牛顿关系方程来

这样的话

等于三个分量方程

四个未知数

缺一个方程

所以不能得到

严格的确定的解答

那怎么办呢

原因在什么地方呢

就因为二维碰撞

接触面的性质起的作用

因为它接触面

要产生相对的运动

所以接触面的性质

决定了它的

这个碰撞的一定结果

所以你要想确定的给出结果的话

要给出接触面的性质

这个比较困难

所以真正的讨论问题的时候

我们不去建立第四个方程

我们是在两个矢量的

未知数的情况下

我测出一个矢量的方向角

比如说我测量出这个角度

或者这个角度

就等于减少一个未知数

于是三个方程

就可以解出来了

有时候甚至我可以测出两个角度来

只需要一个动量守恒的方程

就可以解出来了

所以我们不去多讨论了

一般情况我们不去讨论了

我们考虑两个特例

第一个特例

就是两球光滑

就是咱们说

为什么不能得到严格的确定的解呢

是因为不知道表面的性质

其中一个最简单性质

就是接触面光滑

两个小球之间没有摩擦力

如果这种情况下

就可以得到确定的解

两个小球光滑

就可以得到唯一解了

为什么呢

因为光滑

所以这个小球

不受到这个方向的外力

这个小球也不受这个方向外力

既然不受这方向外力

所以在这个方向动量

应该是不变的

所以这个方向上的速度分量

应该不变

也就是说

v1y等于u1y

就是它初始的y方向的速度

等于碰撞之后y方向速度

同样第二个小球v2y等于u2y

所以在这个方向上

没有动量的交换

所以它的速度是保持不变

这两个等于解出来了

于是怎么样呢

于是只剩下x方向的问题了

x方向的动量守恒

再加上这个关系式

就可以得到唯一解了

所以这是第一个特例

我们来看第二个特例

两个小球的质量相同

第二个小球静止不动

而且是弹性碰撞

看这个情况

这个情况也很有意思

我们看讨论一下

我们用什么呢

用动量来讨论

设这个初态的时候

这个小球的动量是P10

那个小球的动量是P20

因为2是不懂的

所以P20是0

碰之后动量是P1 P2

分别是1 2小球的动量

然后碰前后

动量守恒

我们来得到这个关系式

就是P1+P2等于P10

然后因为是弹性碰撞

机械能守恒

所以就是P1平方+P2平方

等于P10的平方

机械能守恒怎么得到这个关系式呢

就因为动能

是等于2m分之P方的

我们说机械能守恒就是碰前和碰后

它的动能是相同的

那么这就是2m分之P方

所以它这个小球的碰后动量

是2m分P1平方

这是2m分之P2平方

初态的时候是2m分之P10的平方

把2m消掉

就得到P1方+P2方等于P10的平方

为了讨论它的结果

我们把这个平方一下

这个平方一下

就是P1+P2点上P1+P2

一点积出来几项呢

出来四项

结合起来整理一下出来三项

就是P1平方加上P2平方

加上2倍的P1减P2

等于谁呢

等于P10的平方

把这个结果带进去

于是就得到什么结果呢

得到这个结果

得到P1减P2等于0

那么如果碰之后P1是0

就是原来这小球不动

这个以P10撞上去

撞上去之后

这个变成不动了它走了

大家看这是什么情况呢

那么P1是0

由这个式子就知道

P2就等于P10

就是2小球以1小球的速度走了

这就变成什么情况呢

就变成了

我们一维的交换速度的情况

所以这是交换速度的情况

如果P1不等于0

那么P2也不可能等于0

于是怎么样呢

P1一定垂直P2

就是这个小球碰上去之后

两个垂直分开

这种情况

两个小球质量相同

第二个小球不动

又是弹性碰撞

这是一个很常见的现象

大家想一想在什么地方常见呢

是我们很熟悉的一种运动

台球运动

台球运动

台球都是相同的质量

台球的碰撞近似为弹性碰撞

所以

我每次看台球比赛的时候

就看它碰之后的速度是什么样

一看大概都满足这个情况

或者是交换速度

或者垂直分开

当然它不是严格的弹性碰撞

然后小球还有一些滚动

这影响都不大

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绪论

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