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第三节

理想流体动力学

我们这一节前面一些内容

是不需要理想流体条件的

等到需要理想流体条件的时候

我们再加以说明

首先描述流体的流动状态

表述流体的运动情况

第一部分

描述流体运动的两种方法

我们有两种方法

来描述流体的运动

第一种方法

是拉格朗日法

拉格朗日法类似我们以前

讨论质点系里边的

质点运动情况的

一种描述方法

就是认准

流体里边的每一个质元

盯住了它

跟踪着它

描述每个质元

它的运动状态

它的位置

它的速度 加速度

以及它的变化规律

所以它跟我们以前的描述方法

非常的类似

也就是认准各个质元

那么以它的矢径

作为它的分辨的标准

相当于给质点系的每个质点

编上了符号

这就是这种方法

这些个参量是t的函数

那么速度等于矢径的导数

加速度等于速度的导数

我如果要应用牛顿定律的话

必须要用拉格朗日法

但是这种方法非常的困难

难在什么地方呢

因为流体是连续的

大量的无穷多的质元的集体

你要想描述其中的每一个质元

是非常困难

有时甚至做不到

所以

描述是不方便的

我们再提第二种方法

叫欧拉法

欧拉法讨论流体场

就是各种各样的流体场

它的性质

它的规律

比如说有流速场

流体的速度形成一个场

流速场

流速场v

是位置和时间的函数

还有加速度场a

也是位置和时间的函数

还有压强场等等

把各种流体的场来描述一下

这就是欧拉法

欧拉法不必区分和跟踪

来描述每一个具体的质点

它关注的

是场的特点和场的性质

因此描述起来简单实用

图象清晰

所以

是我们描述的

流体运动的主要方法

以后不加说明呢

都采用欧拉法来描述

但是欧拉法计算质元加速度

比较复杂

我们下面讨论问题

就是欧拉法中

质元的加速度如何计算

质元加速度a=dv/dt

就是刚才咱们说的

用拉格朗日法

讨论的这个速度的梯度

那么这个dv/dt

在流体力学里呢

称为速度的全导数

或者是速度的实质导数

是对一个确定的质元的速度

也就是拉格朗日法里边的速度

进行求导

这叫速度全导数

而我们通常说的这个导数

其实指的是偏导数

就是速度对时间的偏导数

这就是欧拉法里边的

速度场的导数

所以我们要区分一下

速度的真正的加速度

等于是实质导数

而不是偏导数

流速场

它是位置和时间的函数

在地点不变的情况下

对它求导就是偏导数

但是偏导数不等于真正的

质元的加速度

流速场中

同一个地点不同时刻的v

是不同的质元在那里出现

我们现在用拉格朗日法

我们看

这个是认准了某一个质点mi

它形成一条轨迹

t时刻它处于这个位置

t+Δt时刻它处于这个位置

那么这时候的速度

是v(r，t)

这时候的速度

是v(r+Δr，t+Δt)

是这样的一个速度

这样的话

在欧拉法里边

t到t+Δt时刻内

v的增量可以分成两部分

就是你是沿着这个情况下

它的速度的增量

分成两部分

一部分是t引起的

一部分r改变引起的

就是像这个增量

应该是这个时候这质元的速度

减去这个时候质元的速度

它可以分成两部分

一部分是因为时间改变

而地点不变引起的

一部分是时间不变

地点改变引起的

因此它的速度的微分

也可以写成两部分

一部分是t改变引起的

一部分是位置改变引起的

于是加速度

应该是速度的全导数

也就是说

x y z t整个改变

引起的导数

那么它分成两项

一项是时间改变引起的

这项改变引起的导数

就是∂v/∂t

因为它地点不变

时间变化引起∂v/∂t

这部分由于位置改变引起的

是v·▽v

这是这样一个结果

下面说明一下

为什么由于r引起的微分

除以dt会写成这个形式

这是实质导数

刚才说

它一个是t变化引起的

所以是∂v/∂t

那么这一项

我们前边讲矢量的微分

可以写成

(∂v/∂x)dx (∂v/∂y)dy

(∂v/∂z)dz

只是其中这v是个矢量

注意它的这个是矢量

这是drv

就因为位置变化引起的微分

写成这个形式

这个形式除以dt

大家看

dx除dt是谁呢

是vx

dy除以dt是vy

dz除以dt是vz

于是这一项除以dt

就变成了这一项

vx乘以∂v/∂x

vy乘以∂v/∂y

vz乘以∂v/∂z

而这个可以简写成谁呢

就可以简写成v·▽v

大家知道v的梯度是谁呢

就是∂v/∂x

x单位矢量

∂v/∂y乘以y的单位矢量

∂v/∂z乘以z的单位矢量

v就是vxx加上vyy加上vzz

它跟它一点积

恰好就是这个

所以这一项

可以简写成v点上v的梯度

因此我们一个速度的实质导数

在欧拉方法中

就写成对v的偏导数

加上v点上v的梯度

于是不同时刻

速度场计算固定点处的

时间导数是这一项

那么t时刻速度场

计算速度场对空间的导数

就是这一项

这样的话我们就是

在欧拉法

计算加速度的时候

除了对速度的偏导数之外

还有一个对空间的

一个梯度的计算

就多了这一项

下面我们看一下

流体流动的图象表示

拉格朗日法

它的图象表示就是迹线

什么是迹线呢

流体质元的运动轨迹

就称为迹线

大家看这是第一个质元

它的流动轨迹

这是迹线

第二个质元它的运动轨迹

也就是它的迹线这是第三个质元

所以每一个质元它的运动轨迹

就构成了迹线

欧拉法是流线

某一时刻流速场的力线

那什么是场的力线呢

我们以前都学过

中学就学过

这个电场对吧

电场有电场线

就是我这个现在有一个电场

我画出一个电场线来

大家还有印象

电场线

就是电场这个矢量场的力线

这个电场线

它某一点的切线

就是该点处电场强度的方向

这就是电场这个场的力线

就是电场线

同样我现在是个速度场

于是在某一时刻

那么就画出了这个流线

它的流线

也是一条有向曲线

大家看这就是流线

这就是流速场的力线

在某一时刻

我画出这条流线来

这个流线上

每一点的切线方向

就是该点处

流体质元的速度方向

比如说这条流线上

这个地方的切线

就是质元1

在这时刻的速度方向

在同一时刻

我在这个流线上

另一点做一条切线

这个切线就是质元2

在这一时刻的速度方向

所以

流速场的流线

就是一条有向曲线

一条一条有向曲线

有向曲线上的每一点的切线方向

大家知道

某一点的切向方向有两个

一个是这方向

一个是这方向

因为这曲线是有方向的

所以这一点的切线方向

一定顺着曲线的方向

所以这个完全确定

也就是说流线上任意一点的

切线方向

就是该点处

质元的运动速度的方向

这叫流线

流线就是流速场的力线

那么什么是流管呢

由流线构成的一个管

就叫做流管

所以由流线作为侧面

构成了一个管子就叫流管

一般我们取流管都取的比较细

下边我们会说出

这个细到什么程度

那么由这个流管里面的流体

就称为流束

所以我们现在有了流线

有了流线构成的流管

有了流管里边的流体

流束

我们有了这样一些对象