Video在线视频

一类叫代数方程组型

这是我们中学

就是常见的一些问题

特点就是力是常数

而且一般不去求速度

和它的位置

一般只求a

就是加速度

这样的问题

就可以化成代数方程组型

就把微分方程组

化成了代数方程组

牛顿第二定律

本质上是微分方程

大家看F等于mr的二阶导数

所以它是微分方程

所以只有在特殊情况下

才能够转化成代数方程

就是说我这个是常数

我现在求的是a

那么就是矢径的二阶导数

就是加速度

我求的是加速度

于是就可以简化成代数方程组

这是中学的常见的类型

解题的时候注意

基本思路和方法

理由和过程

矢量投影的处理

以及解题的格式

这些我们在解决具体的时候

还要加以说明

过程比结果更重要

我们中学的时候

常常注重的是结果

比如这道题

我最后的什么结果

结果对了我就一切都对了

我们说到了现在

我们更着重的是过程

就是你的讨论的思路

讨论的方法

讨论的理由

怎么做的

这是最重要的

结果其实并不重要

所以我们现在

是重过程 轻结果

我们看一个例子

这个装置叫阿德伍德机

这是一个定滑轮

上面有一根轻绳

这边拴着一个重物m1

这边拴一个重物m2

然后松开手

这个重物就运动起来

然后不考虑绳子的伸长

不考虑绳子的质量

也不考虑滑轮的质量

也不考虑滑轮轴上的摩擦

在这样的情况下求谁呢

求m1和m2的加速度

以及绳子的张力

这就是我们的实际问题

我们解决这些问题

首先要注意什么呢

注意这些问题

交代所用符号代表的物理量

最好画出示意图

就是说你用了一个符号

代表一个物理量

一定要说明

它代表的什么物理量

这是我们需要知道的

当然如果你用的是

我们常用的符号

比如说

加速度用a 速度用v

那就不用说明了

我们一看就知道了

如果你一定要用其他的符号

来代表加速度

比如说用w代表加速度

那么你不是惯用的符号

一定要说明

这是指的是加速度

另外在同一道题里面

即使你用我们惯用的符号

a代表加速度

但是这里边有若干个物体

有若干个加速度

你一定要指明

哪个物体的加速度是a1

哪个物体加速度a2

哪个物体加速度a3

要加以说明和区别

这样的话你画一个示意图

是最好的表达方式

大家看

这是第一个物体

我这一写就是质量是m1

这质量m2

然后它加速度这个

它的加速度是这个

这样的话

你这图上标出了这样的意思

一目了然

就把它所代表的这个物体

都说清楚了

所以这是一定要画示意图

是简明扼要的

表达物体的符号

跟符号之间关系的

一个最好的方法

然后我们用基本的定理

列出基本的方程

然后由基本的方程

得到文字解

然后再代入数据

不要先代入数据计算

是先求文字解

然后再代入数据

所有的结论 公式

都要有理由

都要有根据

大家看

我现在让你求绳中的张力

我没有指明

是哪边绳子的张力

所以你这里标出

这个是T 这是T

也就是说你认为这个

两边绳子的张力是相等的

为什么两边绳子的张力相等

你可以不写出来

但一定自己要明白

自己要给自己作说明

那么到现在

我们对两边张力相等

还不能够作解释

等到我们将来

学了角动量定理之后

才可以解释两边绳子张力相等

然后我们又说

让你求绳子张力

比如说左边绳子张力

没有说是这一点还是这一点

这一点

这一点

这一点的张力

那么意思是什么意思呢

就是在一根绳子上

张力处处相等

这个结论

你也要自己给自己加以说明

为什么

这根绳子上的张力处处相等

它来自哪儿呢

来自不考虑绳子的质量

所以可以不去说明

可以不去写出来

但是一定要有根有据

任何一个的结论

任何一个公式

都要有根有据

要给自己加以说明

这就是

我们学习大学物理的

最基本的要求

你不能够说自己糊弄自己

觉得就是这样就行了

一定要找出根据来

特别要注意矢量的写法跟用法

大家看

因为绳子没有伸长

所以大家知道

左边这个物体的加速度的大小

跟右边物体加速度大小

是一样的

现在我用两个a来代表

左边和右边的物体的加速度

为什么可以这么代表呢

就刚才我说的

两边的加速度大小相同

现在这个a

什么意思呢

代表的是投影

在哪儿的投影呢

在这个方向上有个x1

这个是x1作单位矢量

我把a1的这个加速度

在这个方向上做投影

投影是a

这个上也有一个单位矢量

我取向下单位矢量

这个a是m2这个加速度

在这个方向上的投影

我刚才说了

因为绳子不伸长

所以两边的加速度大小是相同的

现在我假设这个是

m2向下运动 m1向上运动

所以以它为单位矢量

它是投影

以它为单位矢量它是投影

这俩的a是相同的

所以我同样用a来表示加速度

而且分别代表了

它俩的加速度的投影

这是合理的

有些同学说

你不总强调矢量吗

我干脆这儿加一个箭头

或者把它变成宋体字

写成矢量形式行不行

写矢量形式就完全错了

因为一个矢量a

它的大小方向是完全确定的

这两个的加速度

虽然大小相同 方向相反

你怎么能用同一个矢量来表示呢

所以这种写法

一定是非常讲究的

一定不能错

而且这里头

刚才说明了

我这里整根绳子上

处处张力相等 都是T

于是我用T来表示张力的大小

它就可以用一个字母来表示了

同样这两边的张力相同

所以也用T来表示

所以这样的表示是需要的

这样的表示

是你一定要有理由

有根据的

这样才能够

是我们做题的前提条件

要把它清清楚楚地表示出来

而且你写出这个符号来

必须自己心里边再确定

它是投影

还是模

所以事先要确定

一旦确定了

在整个问题里头

要贯彻始终

然后我还要看

我把m1 m2当做什么

我把它当作质点

所以我选择的是质点模型

然后我去来写出

我的公式来

利用什么呢

利用牛顿定律

我先写出牛顿定律的矢量形式

这里说明一下

这个矢量式

可以写也可以不写

但是你自己一定要

清清楚楚的知道

如果你在计算过程中

发现问题了

问题出在哪儿呢

一般要把矢量式写出来

从矢量式一步一步的找问题

所以矢量式是必须清楚的

当然可以不写

现在我们把矢量式写出来

对于m1来说

它的这个矢量式

就是它受的力

一个是张力

一个是重力

等于m1a1

这个是矢量式

是没有问题的

对于m2

同样它受一个张力

这两个张力的矢量方向

是相同的

所以同一个矢量表示

然后加上m2g等于m2a2

这就是矢量式

矢量式

我们下面真正计算的时候

要写成投影式

我现在取y方向投影

就是竖直向上的方向来投影

然后像我刚才说的

你要把你所用的字母的符号

代表的是投影还是模

要想清楚

我把重力加速度

和这个T当作大小

也就是模

a作为投影

然后写出它的投影式

这就是我们的那图

对m1

把它这个矢量式写成投影

取哪个方向为正方向呢

取这个为正方向

向上方向为正方向

于是对于它来说

张力是向上的

所以它是正的

这是模 是正的

然后这是向下的

而这个g代表的是模

原来矢量符号是加上m1g

现在投影有个投影符号-m1g

然后这个a是向上的

所以它投影是正的

而且这是代表投影

所以是m1a

对于m2 T还是正的

这个重力还是负的

所以这两边完全一样

因为都是向上投影

这里边是m2a

这里有个负号

有人就说了

你不是把它当投影吗

而且曾经强调过

作为投影的话

不需要加投影符号

这里为什么出现负号呢

出现负号的原因就是

这个矢量的正方向

单位矢量的正方向

和我投影方向不一致

所以才出现负号

咱们看一下

这个T减m2g

这个没问题了

对于m2a2y

这个大家看

我这a2选的是在y方向投影

所以它前面没有投影符号

那么a2y等于多少呢

我们在讲矢量的时候曾经讲过

a矢量在y方向投影

就等于a矢量

点上y方向的单位矢量

所以我们就等于a2的矢量

点上y方向单位矢量

a2它的单位矢量是哪个方向呢

a2单位矢量是向下的

所以它用的是x2

所以a2等于谁呢

等于它在a2上投影

乘以a2方向的单位矢量

这两个再点它

大家看

它的单位矢量是向下的

y单位矢量是向上的

这两点积正好是-1

所以这里出现了负号 -m2a

所以这里的负号

是在这理由下出现的

这是我们在

确定了y方向投影的情况下

写出的关系投影式

大家看

这么写投影式的话

解释这个负号

花费了很长时间

因此

我们还有另一种投影方法

我们说你把矢量式写成投影式

不要求你都是同一个方向投影

完全可以自己选择投影方向

因此我们更常用的

是按各自正方向的投影

就是以运动方向为正方向

各自的正方向来投影

我现在假设这个是这么运动

m2向下 m1向上

我在选择以这个为正方向

这个为正方向投影

所以我对m1来说

我选择这个为正方向

所以对m1

我选择x1方向

这个正方向的时候

T是正的 重力是负号的

所以这有个负号

这个永远是正的

因为你是在

这个方向上的投影

所以等于m1a

所以这是正的

我对m2

我选择投影方向

是向下为正

所以这时候重力是正的

张力是负的

这个还是正的

这样的话

大家就很熟悉了

我们中学一般都是

按这种方法投影的

所以这么讨论的话

就是思想就比较简单

我们有了这两个方程

就可以解出两个未知数

一个是加速度

m1 m2加速度

大小是相同的

所以它是a

然后张力这也可以计算出来

是这个结果

我这么做

把这个a当作投影

就把所有可能情况都讨论了

包括什么呢

m2质量大于m1

m2等于m1

m2小于m1

这三种情况

也就是我们所有可能的情况

都讨论了

因为你选择的是投影

大家看

如果m2大于m1

也就是这个是正的

表示什么呢

确实它的实际运动方向

是你假定的方向

确实它的质量大

它就这么转

如果两个相等

加速度就是零

如果m2小于m1

m1比m2大

我们知道应该是这么转

对吧 这么转

这么转的时候大家看

代进去以后a是负的

a是负的

表示a的正确的真实方向

是跟你假设正方向相反

所以也就可以得到结果

所以我们把a选择投影

就可以把三种情况

全部包括在里面

如果你把它选作模

就必须讨论三种不同的情况