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第二节

质点系角动量定理

首先我们来看

质点系角动量定理是什么样子

首先是惯性系

选择固定点O

看一看质点系角动量定理的微分形式

质点系所受外力

对O点的力矩之和

等于质点系对O点的

总角动量的变化率

这就是质点系的角动量定理

下面讨论

对质点系角动量定理的证明

对第i个质点mi

应用质点角动量定理

第i个质点mi

受到的力对O点的力矩

等于它的角动量的变化率

我们对系统求和

于是对力矩求和

等于对角动量变化率求和

对动量变化率求和

它的求和号可以跟

微分号相互交换

于是就等于

总角动量的变化率

但是没完

我这力矩求和

力矩还分内力矩和外力矩

内力矩之和

我们可以证明它是0

所以整个的质点系所受的

所有的对O点的力矩之和

就等于

它所受的外力

对O点的力矩之和

我们来说明一下

为什么内力矩之和是零

大家看

这是一对内力

这是一个任意点

一对内力

对于任意点的力矩之和都是0

这是对于任意点O

这个力跟这个力大小相等

方向相反

在一条直线上

所以这两个力的力臂是相同的

所以这两个力

对O点的力矩的大小是相同的

但是一个是这个方向

一个是这个方向

方向相反

互相抵消

所以一对内力

对任意点的力矩之和是0

所以所有的内力矩之和是0

所以它等于外力矩

因此我们说

质点系的角动量定理

它既包含了牛顿第二定律

也包含了整个的牛顿第三定律

它把牛顿第三定律的三个要素

都应用到了

就是大小相等

方向相反

在一条直线上全部都应用了

那么我们有了矢量形式的

角动量定理

就可以写成解析式

也就是对轴的角动量定理

这是对x轴 y轴 z轴

我们来看对z轴

就是质点系所受的外力

对z轴的力矩之和

等于它质点系

总的对z轴的角动量的变化率

再看积分形式

我们把dt乘过去

然后两边积分就得到了

这个质点系对O点的

力矩的增量

等于谁呢

等于它所受的对O点的

外力的力矩之和的时间积分

或者等于说

是所有外力对O点的冲量矩

我们来看解析式

也就是对轴的角动量定理

这是对x轴 对y轴 对z轴

我们讨论一个例子

还是单摆

但是这个单摆不是用绳子连接的

是用一个轻杆连接的

就是刚才我们曾经问过大家

和跟大家讨论过的

杆跟绳的不同

我现在用一个细杆

把这个质点连接起来

让它绕着这个轴摆动

我们讨论它的摆动的规律

假设不计杆的质量

我们来讨论一下

刚才说

我们刚才那种讨论的时候

用什么切向力呀

或者把这切开

对它来应用角动量定理呀

都有问题

因为在这地方可能出现切向力

杆对这个质点可能有切向力

现在我们怎么处理呢

我们有了质点系的角动量定理

我们就可以

非常严格的讨论这个问题

大家看我把小球和这个细杆

当做一个系统

对z轴应用

对z轴的角动量定理

这个时候即使有

它跟它之间的切向力

它属于内力

没有影响

所以整个系统

对z轴的外力的力矩

只有重力矩

于是我们就可以写出来

对z轴的外力矩

就是-rmg sinθ

等于这个小球的

角动量的变化率

就是mr方θ两点

也就是最后得到这个结果

这个结果跟我们刚才

用绳子做单摆的时候

得到的结果相同

这说明什么问题呢

说明即使是杆

如果你不考虑杆的质量

那么这个杆对这个质点

也没有切向力

就说明这个问题

那么再看一个例子

阿德伍德机

阿德伍德机我们曾经说过

它是什么问题呢

这是一个滑轮

两边系着两根绳子

拴着两个重物m1 m2

现在不计滑轮质量

不计轴上摩擦

不计绳子质量

不计绳子的伸长

让你讨论什么呢

它从这两个开始

你拉着它

然后一松手

从t等于0的时候

两个重物开始运动

求t时刻

m1 m2的速度 加速度

讨论这个问题

我们当然

可以用牛顿第二定律来解决

就是把这儿切开

把这儿切开

用两个方程来讨论它

这样的话比较麻烦

我们看

我们用角动量定理

就可以非常简单的讨论了

那么角动量定理

我先要选系统

我选谁做系统呢

m1 m2 绳子 轮子做系统

我们对z轴

应用角动量定理

我们先看第一种方法

微分法

我们知道

角动量定理有微分形式

有积分形式

我们用微分形式

用微分形式先求加速度

我们选择这个系统

大家看

那么哪个是外力矩呢

这个的重力

这个的重力

对这个轴z轴大家看

z轴现在我这么选坐标系

于是z轴是向里的

我再假设它的重量比较大

所以是这么转

所以我选择z轴这个方向

那么哪个是有外力矩呢

重力是有矩的

然后还有外力

就是轴上还有外力

可是轴上外力的力矩是0

而且不计摩擦

没有摩擦力矩

所以它的外力矩

只有这两个的重力矩

其他的一切力

它跟绳子之间作用力

绳子之间的张力

绳子跟它的摩擦力

统统都算内力

在我这里不起作用

于是我们就得到了

这个整个系统

它对z轴的外力矩

就等于m2g乘以这个半径

大家看这个力矩是正的

对吧 正的

再看m1g乘以R

这个力矩是负的

减去m1gR

等于谁呢

等于这质点系

总的角动量的变化率

这角动量有谁呢

因为不计绳子的质量

不计轮子的质量

所以只有它两个有动量矩

这个动量矩

是它的动量是向上走的

速度是v

是m1v

这是动量

再乘以这半径

大家看

它这么走

它在这儿的动量矩是正的

再看这个是往下走

速率也是v

动量是m2v乘以这半径

也是正的

所以就等于m1vR加上m2vR

总角动量对它求导

就可以了

这都是常数

提出来对v求导

对v求导就是加速度

所以等于m1加m2

乘以R乘以a

所以大家看

我一个式子

一步就把加速度求出来了

加速度得到了

那么速度很好办

大家一看就知道

这是一个匀加速的运动

所以它的速度就等于a乘t

就得到结果了

这样的话大家看

我这个质点系角动量定理

就显示出非常大的威力来

就是一切的张力呀

相互作用力呀

都算内力

不必考虑

第二个积分法

积分法

我先求v

为什么这道题可以用积分法呢

就因为我的外力矩是常数

是常力

于是

外力矩对时间的积分就很好积

所以我就可以用积分法

大家看

我外力矩对时间的积分

就等于

因为这个外力矩是常数

就等于外力矩乘以时间t

等于谁呢

等于始末态角动量的增量

初态角动量是0

这是末态角动量减初态角动量

于是就直接可以把v求出来

v等于（m2-m1）gt/（m1+m2）

这一求导

就把加速度求出来了

所以大家看

这是积分形式

我们以前讨论过

阿德伍德机的各种解法

这种解法是最简单的

问题

为什么选轮作为系统之一呢

大家想

我选系统m1 m2 绳子

为什么把轮子选进去呢

就因为

绳子和轮之间是有摩擦的

如果你不把轮子选进去

这个摩擦力的力矩你要考虑进去

现在把轮子选进去

这个摩擦力的力矩

算内力矩

不必出现

我们再想一下

刚才我们计算

重力矩的时候

m1 m2

我们直接就那么计算了

好像大家也没有什么意见

可是你想一想

如果这m1 m2

是比较大的一个物体

比较大的一个物体

你怎么计算它的重力矩呢

你有什么根据

这么计算它的重力矩呢

如果它是一个很复杂的系统

比如说

我拿铁锹扬出一堆沙子去

这些沙子受到重力

它的重力矩怎么计算呢 等等

所以质点系的力矩的计算

还需要再考虑一下

然后同样这样问题

我如果m1 m2比较大

是一个比较大的物体

我如何计算它的角动量呢

也是需要讨论的