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Video课程教案、知识点、字幕

我们现在呢

在结束这个部分之前

讨论两个问题

大家看第一个问题

大家看这图

这个质量为m的小球

这是弹簧

这是一条水平细线

弹簧跟这个竖直方向夹角θ

这样的话我们来求一下

一旦把这条线剪断

剪断瞬间

这个小球的加速度是多少

这个问题很简单

可能我们中学都做过

那么结果是加速度

是水平的对吧水平的

等于gtanθ

怎么得来呢

就因为我们这个小球

它原来静止的

那么这个重力

弹簧的拉力

和绳子的拉力达到平衡

一旦剪断

那么绳子拉力没有了

这俩力的合力

正好跟绳子拉力方向相反

所以水平指向这方

然后由力的三角形可以知道

这个力是mgtanθ

所以它的加速度

是gtanθ

那么这个问题呢

就得到解决了

这我们中学可能都做过

我们再看另一个

另一个几乎完全相同

只是把这弹簧

换成了一条绳子

然后我们仍然把这边剪断

那么大家看

它的加速度是多少呢

那么同学也会说

很简单啊

你一剪断以后

它做了一个圆周运动

由这个切向力

就可以求出它的切向加速度

切向加速度gsinθ

当然这个结果都是对的

但是

是不是到此就为止呢

我们说并没有到此为止

我们在大学学习的时候

要注意多思考

每个问题

每个结论都要有根有据

于是我进一步问你

你说把这个切断之后

这个力跟这个力的合力

跟这个正好相反

相当于它们在切断之前的合力

也就是说

意味着这弹簧的力

在切断前后没有变

对吧

我就问你

为什么弹簧的力

在切断前后没变

那么为什么呢

我们可以解释

弹簧的拉力

等于它的倔强系数

或者是弹性系数k

乘以谁呢

乘以伸长

在你剪短的瞬间

伸长

可不是伸长没有变化

伸长有变化

但是这个变化

dx是趋于0的

dx趋于0

于是弹簧拉力的变化

也趋于0

我们说在dt时间内

一个物理量的变化趋于0

就是说它没有突变

也就是说在剪断的瞬间

弹簧的拉力没有突变

仍然保持原来状态

于是我得到这个结果

大家看这么解释

好像就可以了　对吧

但是我还要继续问你

为什么这个点

在剪断瞬间

它的位置变化趋于０呢

或者说位置变化没有突变呢

大家想一想

为什么呢

我们说

这个位置的变化

或者说这个伸长的变化

dx等于v乘dt

dt时间很小

所以趋于零

于是dx趋于零

所以

它的位置基本上没有变化

于是再由它的弹簧的性质

它的拉力基本没有变化

于是我们得到这个结果

所以我说

你任何一个结论

像这个弹簧拉力没变

像这个位置没变

或者是变化趋于０

都要有理由

我们下面接着看

这个讨论清楚了

我们再来讨论这个问题

这个切断之后

我们仍然跟刚才一样

我们说这小球的位置

基本没变

基本没变并不是没变

而是趋于０变化趋于０

我再问你

这个情况下

这个绳子的拉力变没变

大家想变没变呢

如果是真没变的话

它的结果应该跟这结果相同

对不对

这就是

绳子拉力没变的情况下

它一定是向这方向水平运动

它的加速度等于g乘tanθ

而这一个完全变了

说明什么呢

你剪断的瞬间

绳子拉力发生了突变

它的拉力

跟刚开始连接时候的拉力

完全不同

有了一个很大的变化

一个有限的变化

我们说在dt时间内

这个物理量发生了有限变化

就叫突变

发生了突变

那要问你

为什么这个不发生突变

这个发生突变呢

什么原因呢

这就是模型惹的祸

这模型的问题

我们说

你这个是什么呢是弹簧

相当于一个弹性绳对吧

它的拉力

是跟它变形成正比

它的倔强系数或者弹性系数k

是一个常数

这个是什么模型呢

这是刚性绳模型

什么是刚性绳

它的弹性系数

或者倔强系数k无穷大

正因为它无穷大

所以你用一个有限力来拉它

它的长度基本不变

所以它叫刚性绳

所以在剪断瞬间

这个有一个微小的

长度变化

就是这个长度变化dx趋于0

但是它乘以一个无穷大

无穷小乘个无穷大

变成个有限数

所以这个的张力

拉力发生了突变

这就是我们说

它俩的不同

它俩的模型不一样

它俩的性质不一样

所以我们看到

力是可以发生突变的

力发生突变

加速度就可以发生突变

所以我们说加速度是可以突变的

这个力突变了

我现在不知道这个力多大

跟原来力不同了

所以不能用刚才的办法分析了

但是它是刚性绳

所以它剪断之后

这小球做一个圆周运动

它的绳子长度不变

它做圆周运动

于是我们就可以把重力

分解成一个切向力

切向上只有重力的分力

没有绳子张力

绳子张力可以不考虑

没有影响

于是就可以算出

它的加速度是g sinθ

所以这道题是这么得来的

做到这儿好像又完了

对吧又完了

但是我们还要问

我们知道

你这个加速度是切向加速度

对不对

我们说加速度要分成两个

一个切向加速度

一个法向加速度

你只告诉了我切向加速度

还有法向加速度呢

法向加速度多大呢

那么同学说

法向加速度an

等于v平方除以r

这个长度假如是r的话

v平方除以r

它现在的速度v是0

所以它的法向加速度是0

所以它只有切向加速度

那我就要问你了

为什么

它剪断之前

它的速度肯定是0了

为什么剪断之后

它的速度还是0呢

也就是说速度没有突变呢

什么道理呢

那你要知道

速度的微分跟谁有关系

dv等于谁呢等于adt

dt趋于零于是dv趋于零

所以这个速度没有突变

所以剪断之前速度是0

我可以近似认为

剪断之后速度是0

速度是0

所以法向加速度就是0

于是问题就解决了

好

我们又解决了一个问题

所以我们要多思考

多总结

那我还要问你

刚才这个问题里面

速度没有突变

那么在你实际的

讨论问题里面

有没有速度突变的例子呢

大家想一想

有没有速度突变的例子呢

对是有的

比如说我一个小球

小钢球　一撞墙

去的时候这个速度

回的时候这个速度

在碰撞墙壁的过程中

假如你把它看做刚性情况下

这个碰撞过程趋于０

时间趋于０

它的速度发生突变

原来这么走这么走

发生突变了

所以速度突变是可以的

是有的

那么是什么原因

造成了速度突变呢

我们再看刚才的公式

dv等于adt

dt趋于零

如果你加速度是无穷大

那么这俩乘起来

就可以是有限值

于是速度就可以突变

在我们碰撞过程中

我们是刚性体模型

刚性体模型

两个碰撞物体之间的

相互作用力

是无限大的

无限大的力

产生了无限大加速度

所以在碰撞过程中

速度可以突变

所以我们看到

力可以突变

加速度可以突变

速度可以突变

这是我们各种不同的模型

引出的结果

最后同学还要问一下

说这样的话

位置是不是可以突变呢

我们刚才说dx等于vdt

v我们说

没有认为是无限大的情况

我们现在还没有

无限大的速度的情况

所以在我们一般讨论里边

没有见到

位置突变的情况

就是一个物体原来在这儿

滴的一声忽然跑到这儿去了

这种现象没有没有

所以我们现在承认

位置一般不会突变

但是速度可以突变

加速度可以突变力可以突变

考虑到这里好像就完了

但是我还有一个最后的问题

大家看

这一个小球的加速度

是切向加速度

它的法向加速度是零

为什么的

因为它的速度是零

速度是零

V平方除以r

法向加速度是零

于是我们

不禁要回头看一下这道题

这道题的加速度是水平的

沿着径向有分量　对吧

这就是一个法向

于是这个小球

它沿着法向

有个加速度分量

沿着切向有个加速度分量

对吧

因为你这加速度水平嘛

所以它沿着这个方向

有个加速度分量

沿着这个有个加速度分量

这个加速度就是法向

所以在这种情况下

这小球的初始加速度

有个法向加速度

可是我们刚刚说了

法向加速度等于v平方除r

这个小球开始速度也是0

v方除r还是0

它不应该有法向加速度

可是这明明出现

法向加速度了

你如何理解如何解释呢

大家看

我分析我刚才的讨论

我确信法向加速度

等于v方除r

这是没错的

因此这个小球的法向加速度是0

这应该是确切无疑的

于是答案在哪儿呢

答案在这儿

这个方向

不是这小球的法向

这个方向水平方向

正好是这个小球运动的切向

它的法向什么方向呢

法向是这个方向

为什么

因为这个小球

因为弹簧的长度可以变化

小球做的不是圆周运动

不是这么先水平走以后

然后甩起来

所以这个地方的轨迹就是水平的

它的法线就是这方向

这是它的切向方向

因为弹簧的长度可以变

它不是圆周运动

所以这个不是它的法线

这就是这个结论

所以我们坚信v方除r

或者v方除以ρ是对的

所以它的法向加速度

确实是0

这样的话

我们就把这个问题讨论了

我们讨论这个简单问题

主要就是为大家说明

我们到现在学习力学

学习物理学

不仅仅看的是答案

你看这答案

我们中学都会做对吧

不仅仅是看答案

不仅仅是看结果

更多的是思考

思考它的过程

思考它的原因

思考它的道理

就像刚才我一步一步分析的

每一个都有一定的理由

原理做基础才可以

由这个问题

我们说我们容易犯的错

一个错误是这个问题

大家看

这是一个滑轮

这是一个滑轮

上面用一根轻绳

拴着两个质量相同的物体

这个物体是上下运动

这个物体来回摆动

就是这样的问题

现在把这个物体

拉到一个角度θ0

然后一松手这开始来回摆动

让你写出

左边这个质点的运动方程

我们来看

对左边这个

我们是法线方向

我列方程

T减mgcosθ等于mv平方除以r

对吧这是法向

T是张力

减去重力在法线方向的分力

所以得这个结果

再看切向

切向是这个方向

于是这个重力的切向分力

等于m（dv/dt）

这就列出了它的运动方程

大家看非常熟悉对吧

非常简单非常明了

看起来一点问题没有

结果怎么样呢

这是完全错误的

为什么

就因为这个两个方程

是在它做圆周运动

半径不变的情况下

才能得这结果

实际上

因为你一摆动的时候

这个绳子

或者它往下走

或者这个m或者往上走

这个距离要发生变化的

它不是做圆周运动

不是做圆周运动

这个写法完全错误了

正确的是什么呢

正确的是这个办法

我假设这个点在圆心上

忽略了它的这个滑轮大小

于是用极坐标系才对

正确的是

以左滑轮为中心

建立一个平面极坐标系

滑轮半径是r

对它来写

写成什么呢

这是径向的方程

就是你受的这个径向力

重力的分力减去张力

因为是以向外为正

所以张力是负的

重力分量是正的

等于质量乘以径向加速度

这个r是可变的

然后再写一个横向

横向是它的受的力

等于它的质量

乘以横向加速度

这才对

这样的话

这个r是可变的

这才对

所以很容易出现这样的错误

希望大家注意

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微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

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Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

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Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

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-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

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-§2质点系动量定理

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-§3机械能定理.机械能守恒

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-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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