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我们看个例子

大家看这是一个叶片

水流冲过来

来的时候速率是v0

然后碰了叶片之后

回水的速率是v

v0等于45米每秒米

v等于4.0每秒米

这是水流的情况

然后流量

流量是单位时间内流过的体积

就是dV

V是流水的体积

水的体积

dV/dt叫流量

多少呢

5.5每秒立方米

让你求

对叶片的冲力F′

我们要选对象

选对象就是选我的质点系

这对象是什么呢

把质点系选作谁呢

就是dm

dm就是dt时间内

与叶片作用的水

于是dm等于ρqdt

dV/dt乘以dt是dV

然后ρ一乘

ρ是体密度

就是这一段部分的水的质量

所以dm等于ρqdt

然后

我们下面用解析形式来讨论

前面用的都是矢量形式

所以我们下面用解析形式

我把那个动量定理

用解析形式就分成x方向和y方向

我们其实主要是讨论x方向

动量定理x方向的分量

就是x方向的外力的元冲量dI外

等于这个质点系

在x方向的动量的增量

末态动量是dm乘以负V

因为我把v取作绝对值

它的运动方向跟x正方向相反

所以是负v

负v乘以dm

然后减去初态的动量

初态动量速率是v0

是正的

然后就等于是dm乘以v0

所以把负号dm提出来

就变成了负的dm

v加v0

那么这个外力的元冲量

就等于Fdt

F是叶片给水的平均冲击力

乘以dt

那么它跟这个

水给叶片的冲击力F′

正好差个负号

等于负的F′dt

于是整理一下

我们就得到了

这个把负m提出去

这是v+v0

然后除以dt

就变成了正的(v+v0)dm/dt

这个除过去

dm/dt等于ρq

所以等于ρq(v+v0)

最后代进结果

2.7乘以10的五次方牛顿

这样的话呢

我们就把冲力求出来了

这个题为什么用质点系来讨论呢

因为在dm跟叶片碰撞过程中

它是逐渐碰撞的

它里面的水速度都各不相同

所以用质点系可能更妥当一些

我们再看一个例子

逆风行舟

我们知道帆船全是靠风力来推动的

那么如果风从对面吹过来

那么如果你叫顺风行舟的话

那你船可以顺着风向我这儿驶来

那么我现在想从这儿到对方去

逆着风的方向走

能不能实现呢

好像看起来不行

我风只是顶着你走

你怎么能向这个方向去呢

我们说这是可以实现的

实现它就叫逆风行舟

我们来看一个情况

如果你想顺风行舟的时候

风从这边来

你的帆这么挂

风吹着它这么走

我想逆着风走

怎么办呢

帆就不能那么样了

我的帆要做成这个形状

这是风的方向

风吹到帆上

然后沿着这个方向过来

我们知道风吹到帆上

跟帆的作用非常复杂

就是表面上如何跟它产生摩擦

产生压力等等

非常复杂

讨论这个是很困难的

可以我现在想讨论总的力

我就可以不涉及到那些细微过程

用动量定理直接看出

这个风对帆的作用力什么方向

什么方向呢

我们来看一下

这是P0

就是风来的

假如我选一部分风作为对象

就是系统

那么这风来的 来风的动量P0

产生跟帆作用之后变成了P

因为一般来说

这两个的动量大小变化不大

我们假设它相等

大家看这个图

这是来风的动量

这个是跟帆作用以后的动量

于是动量的增量就是它

这个动量的增量来自哪儿呢

来自帆对风的作用力

所以帆对风的作用力是这个方向

于是由牛顿第三定律

风对帆的作用力就是这个方向

所以帆对风的作用力是引起了ΔP

我由ΔP决定了帆对风的作用力

于是就得到了

风对帆的作用力

风对帆的作用力就这样

所以我帆如果设计的好

这个力跟这个来的动量的夹角

就是非常的接近π/2

就是你风从这儿来

它对帆的作用力

是非常的接近π/2是这么推

这么推大家看

这个船

如果要是没有什么其他效应的话

船往这边走

永远不可能到风的方向去

所以还有另一个要素

大家知道船是这样的

船的纵向是这样的

下面是一个龙骨

所以船沿着龙骨

顺着这个方向阻力小

侧着走阻力大

所以虽然推它的力是这个方向

但是它行进的是这个方向

大家看

终于船走的方向

跟风来的方向的夹角小于90度

所以大家想

风是这么来

我船如果这么走

虽然不能直接到达那点

但是我走到这方向之后

我换着这么走

这么曲线的走过去

最后终能到达对方

所以虽然帆船是靠风推动的

但是它却能逆风行舟

走到它风的来源之处

这就是逆风行舟

大家看

我这个分析简单明了

为什么

就应用的动量定理

只由动量的变化

来推出力的方向

不涉及到复杂的过程

我们再看一个例子

这是一个楔形的一个滑块

放在一个水平面上

那么有一个滑块沿着斜面

以加速度a向下滑动

现在这个楔形物体是不动的

静止不动的

也就是说

它所受的摩擦力

使得它保持静止不动

现在知道了楔形滑块的质量

知道了这个小滑块的质量

知道了下滑的加速度

让你求什么呢

让你求这个

水平面对楔形物的正压力

以及它的摩擦力f

因为它往下滑的时候

使它有一个向这方运动趋势

它所以不动是因为有摩擦力

这方向的摩擦力

这就是我们讨论的问题

我们求解这道题

第一个方法

也是我们惯用的方法

怎么做呢

我们对m来讨论

m沿着它向下走

所以沿着斜面向下

我沿着这个方向

来讨论这个应用牛顿第二定律

于是质量乘以这加速度

等于它在这方面所受的合力

那么这个合力

一个是摩擦力 减去摩擦力

一个是重力在这方向的分力

就是所谓下滑力

下滑力减去摩擦力等于m乘a

于是就可以把f1求出来

因为a是已知的

所以可以把它求出来

然后在垂直于斜面

我列一个牛顿第二定律

那么这个正压力等于谁呢

等于重力在这方向的分力

这样我对于这个m应用了牛顿定律

把这个f1和N1都求出来了

于是我对M来说

现在把M来看作对象

它受到这个f1是滑块受到的阻力

那么这样的话

它M受到一个

滑块对它的一个反作用力

所以知道有这么一个力f1

然后还受一个这方向

跟N1方向相反的一个作用力

我们也叫N1

它受到一个这样的摩擦力

受到这样一个正压力

然后还受重力

就可以由它的力平衡

求出N和f为来

所以已知楔形滑块所受力

可以求出它的未知量N和f

水平方向以向左为正

那么f等于谁呢

f就等于这个力的水平分力

再减去N1

N1是这个方向

它在这个方向的水平分力

最后结果是ma cosθ

这是水平方向

再看竖直方向

竖直方向呢

这是N

N跟这个 一个是mg有一个重力

还有N1这方向有一个分力

还有f1在竖直方向也有一个分力

等于这三个之和

整理以后是小m加大M

乘以g为

减去ma sinθ

所以我们通常的做法

都是先求出针对它来讨论

求出它对它的作用力

然后以它为对象

知道它所受的力

各种力保持平衡

就可以把f跟N求出来

这是我们通常的做法

但是我们还有更简便的做法

什么做法呢

大家看第二个办法

我把小m跟大M看作系统

于是这个它之间的摩擦力

它跟它之间的相互的正压力

都属于内力

不影响这个系统的什么

动量的改变

于是就可以大大简化我们的讨论过程

我们来看怎么讨论

我把它为系统

因为它不动

所以这个系统的总动量

就是滑块的动量

就是m乘v

于是

这个系统所受的外力的矢量和

这矢量有谁呢

一个是小滑块的重力

一个是大滑块的重力

还有一个是这个摩擦力

还有一个正压力

这是它所受外力

至于它们俩之间的作用力都属于内力

不出现的

等于谁呢

等于系统动量的变化率

系统动量变化率就是对它求导

对它求导就是m乘a

大家看一个式子

就把所有关系都建立起来

我们把这个式子在水平方向投影

水平方向投影的话

这个是竖直方向没有

于是直接就把摩擦力求出来

摩擦力就等于ma cosθ

这是a在水平方向的投影

然后在竖直方向

竖直方向f没有

于是N减去它的总的重力

等于负的ma sinθ

一步就求出来了

所以结果相同

但是整体的讨论过程

非常的简单

原因在什么地方

就因为

我们把两个物体之间的内力

不考虑了

因为它不影响我们的总动量

和总动量的改变