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Video课程教案、知识点、字幕

应用

我们第一个应用扭转的变形

可以来传递什么呢

传递扭矩

大的扭矩下

我们还要转角还要小

就要求谁呢

刚才说系数D要大

而系数D是由R决定的

所以要求半径R要大

我们刚才又知道

剪切的应力的分布

是跟半径成正比

所以半径小的地方

剪切应力很小

因此为了提高我们的D

为了节约材料

我们一般都用空心的圆管

这样的话

就可以传递较大的扭矩

而又使得转角要小

我们看一个例子

电动机传动轴的半径

R等于0.02m

传递的功率

P等于3.0乘以10的4次方W

它的转速3分之70转每秒

已知这个电机传动轴材料的

剪切弹性系数是这么大

允许的单位长度转角

就是单位长度转角

允许的转角

是每米两度

就超过这转角

这个轴就损坏了

所以这允许的转角

让你计算一下

在咱们刚才给定这些个数据情况下

实际的单位传动转角是多大

超没超过允许的转角

让你计算这个

我们看扭矩等于多少呢

扭矩等于功率除以角速度

还记得以前我们讨论过

当这个做功用力矩来计算的时候

它的功率等于力矩乘以角速度

所以现在我们就知道

转矩要由功率除以角速度来得到

等于功率除以2πn

n是转速

单位长度转角

等于实际转过的角度除以长度

也就是它传动轴的高度

那么ф由刚才得到

它等于转矩除以D

所以再除个h

我们把转矩代进来

再把D代进来

于是最后得到这个结果

计算结果0.583度每米

小于我们的允许转角每米2度

所以这样的情况是允许的

第二个

就是这种扭转的弹性变形

第二个应用是扭称

由转角我们刚才说

M等于D乘以ф

我知道了转角ф

又知道了系数D

就可以算出扭矩来

所以由转角可以测量扭矩D M

为提高精度

我要使得什么呢

使得D非常小

D越小精度越高

于是要做的又细又长

那么又细又长的一个悬丝

就构成了一个扭称

我们精密的一些力

和力矩的测量

都用扭称来做的

比如说

库仑测量点电荷之间作用力

卡文迪许测量万有引力常数

厄缶检验这个

引力质量跟惯性质量成正比

等等精密的

测量力和力矩的实验

都用扭称来做

这是我们说的第二种应用

下面我们计算一下

扭转弹性势能

我们前边计算的那个弹性势能

是线应变和线应力

组成的弹性势能

现在我们讨论扭转弹性势能

圆柱内各处的应力应变

是不均匀的

所以我为了讨论

扭转弹性势能的密度

我要找一个均匀情况

就是找一个薄壁的圆筒

用薄壁圆筒来计算

在薄壁圆筒上

它的应力应变就均匀了

近似均匀

薄壁圆筒高是h

外半径是R

壁厚是dR

也就是外半径是R的

一个壁厚为dR的

一个薄壁的圆筒

我来计算一下这薄壁圆筒

在扭矩作用下

它产生的弹性势能

当它的底面固定

上面作用一个力偶

力偶也从小到大慢慢增加

总是跟它的内力偶相平衡

慢慢增加

最后当外力偶为My的时候

一个确定的数值的时候

然后上端转角是ф

上边端面转角是ф

我求这个时候

它所具有的弹性势能

那么这个弹性势能

就等于在这个过程

中外力偶做的功

外力偶做的功是一个小量

我们用dEp来表示

那么就等于外力乘以dф

我们知道力矩做功

等于是力矩乘以dф

那么也就是外力矩

因为你在加力偶的时候

它不断的是跟内力偶平行

所以又等于内力偶乘以dф

内力偶应该等于

我这个不是一个薄壁圆筒嘛

薄壁圆筒一个小截面上的力

乘以它的力臂

力臂就是R

那么小截面上的这个力

就等于它的

剪切应力乘以这个面积

乘以这个小面积

剪切应力就是等于

剪切的弹性系数

乘以它的剪切应变

就是这个

我把它代进来

然后在它圆周上

整个的计算起来

就是这个结果

那么把这个进行积分

就是在ф角的时候

它内力矩这么大

然后ф角的时候

再增加一个dф角度

然后力矩做功

从哪儿积呢

ф是从0到ф来进行定积分

最后结果是这个结果

它在薄壁圆筒应变应力是均匀的

所以这个势能除以它的体积

就是它的势能密度

我们也用小写的e来表示

把这个结果

这个它的体积

是2πR乘以dR再乘以高度

最后一除得这个结果

整理以后

仍然是一个二分之一的

应力乘应变的结果

所以对剪切的弹性势能密度

也是二分之一应变乘应力

我们前边是线应力线应变

引起的弹性势能密度

也是二分之一

应力乘以应变

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绪论

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