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第三节

简谐振动的合成

一个线性系统中

可以同时存在

两个或多个的简谐振动

这样的话

系统的实际振动

就是这些简谐振动的合成

或者叫迭加

第一

线性系统的迭加原理

也就是说

我们首先要说明

为什么一个线性系统里

可以同时存在着两个

或者更多的简谐振动

所以要先说明这个问题

这个问题就来自

线性系统的迭加原理

线性系统

就是动力学方程

是线性的微分方程

我们称之为线性系统

比如说

线性无阻尼自由振动

它的方程是x两点

加上ω平方x等于零

这个未知的变量

以及变量的各阶导数

都是线性的

那么这样的微分方程

称为线性微分方程

服从这样的微分方程的系统

就称为线性系统

所以这个方程

是齐次的线性的二阶的

微分方程

所以这个系统就是线性的

如果x1和x2是解的话

那么它两个的和也是解

这样的话就是

同时出现了两个

同频的简谐振动

于是合起来这个解

就是这两个解的线性迭加

那么它为什么是两个解的和

仍然是解呢

我们把它代进去

因为它是线性方程

所以它代到方程以后

变成这个形式

因为线性嘛

所以它的两个解的导数可以是

两个解的导数之和

所以可以写成这个形式

这个是满足方程的话

它应该是等于零

这个满足方程

它应该等于零

所以这两个加起来还等于零

因此呢

x1是解 x2是解

那么两个解加起来

仍然是解

这就是线性系统的迭加原理

保证了什么呢

在同一个系统里面

可以同时出现若干个

同频率的简谐振动

我们再看线性的受迫振动

这又是一个线性系统

它的微分方程

又是线性的对吧

这是一个一次的

一次的

一次的

所以这就是一个二阶的

线性的

非齐次的微分方程

这样的话

它也满足迭加原理

如果x1

它对应着是这个策动力的频率

也就是x1代进去以后

它满足这个方程

x2它对应的是这个策动力

于是把x2代进这个方程以后

它满足这个方程

就是没有这个

满足它

这样我把两个加起来

作为一个新的解

x等于x1+x2

把它代进去

那么仍然是这个方程的解

因为这个解对应的是这个

策动力

它代进去以后

使得这个满足

x2对应是这个策动力

代进去以后

它满足这个情况

两个加起来

是这两个策动力

同时存在时候的解

这样的话

我这一个线性系统里

就可以同时出现

两个不同频率的简谐振动

于是

又是这种不同频率的

简谐振动的迭加

大家看这就表示刚才说

我代进去怎么样满足原来方程

这个是第一个解

它代进去以后它等于它

这个是第二个解

代进去以后它等于它

于是这个方程就成立

所以它是解

对应的这个的解

它是对应着这个策动力的解

两个加起来

对应着两个策动力

同时存在情况下的解

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-一.导数与微分

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绪论

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-§2质点系角动量定理

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